Thèse soutenue

Contrôle et stabilisation internes de systèmes hyperboliques en 1-D
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Auteur / Autrice : Christophe Zhang
Direction : Jean-Michel Coron
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliqués
Date : Soutenance le 25/10/2019
Etablissement(s) : Sorbonne université
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jacques-Louis Lions (Paris ; 1997-....)
Jury : Président / Présidente : Fatiha Alabau-Boussouira
Examinateurs / Examinatrices : Brigitte d' Andréa-Novel, Pierre Rouchon, Emmanuel Trélat, Enrique Zuazua
Rapporteurs / Rapporteuses : Franck Boyer, Martin Gugat

Résumé

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Dans cette thèse nous étudions des questions de contrôlabilité et de stabilisation de certains systèmes hyperboliques en une dimension d’espace, avec un contrôle interne. La première question traitée est celle de la contrôlabilité interne indirecte d’un système de deux équations d’ondes semilinéaires couplées, avec un contrôle fonction du temps et de l’espace. A l’aide de la méthode dite des contrôles fictifs, nous donnons des conditions suffisantes pour qu’un tel système soit localement contrôlable autour de 0, ainsi qu’une condition naturelle reliant le temps minimal de contrôle et le support du contrôle. Puis, nous étudions un cas particulier où les conditions suffisantes ne sont pas vérifiées, en appliquant la méthode du retour. La seconde question est celle de la conception de feedbacks saclaires explicites pour stabiliser des systèmes dont on sait qu’ils sont contrôlables. La méthode employée est inspirée de la méthode du backstepping telle que développée par Krstic, et de ses développements les plus récents : ainsi, la contrôlabilité du système étudié joue un rôle prépondérant ici. Elle permet d’obtenir des feedbacks stationnaires explicites qui stabilisent une équation de transport linéaire périodique exponentiellement, voire en temps fini. Pour finir nous illustrons cette méthode sur un système plus complexe, dit du “bac d’eau”. Nous prouvons que les linéarisés autour de tout équilibre à accélération constante non-nulle sont contrôlables si l’accélération n’est pas trop grande. La méthode donne des feedbacks qui restent explicites, mais ne sont plus stationnaires, et nécessitent l’ajout d’un intégrateur dans la boucle de stabilisation.