Modèles intégrables de spins, vertex et boucles

Integrable spin, vertex and loop models

• Auteur / Autrice : Paul Melotti
• Direction : Cédric Boutillier, Béatrice de Tilière
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 28/06/2019
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de probabilités, statistique et modélisation (Paris ; 2018-....)
• Jury : Président / Présidente : Ioan Manolescu
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marie Albenque, Nathanaël Berestycki, Thierry Lévy, Sandrine Péché
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Vincent Beffara, Julien Dubédat

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes intégrables

Yang-Baxter, Équation de

Mécanique statistique

Mots clés libres

Mécanique statistique

Modèles intégrables

Équations de Yang-Baxter

Triangle-étoile

Modèles de spins

Modèles vertex

Modèles de boucles

Fermions libres

Statistical mechanics

Integrable models

Yang-Baxter equations

Star-triangle

Spins models

Vertex models

Loop models

Free Fermions

Résumé

Cette thèse porte sur divers problèmes de mécanique statistique, liée à l'étude des modèles intégrables. Dans ces modèles, l'existence de symétries particulières, exprimées par exemple par les équations de Yang-Baxter ou transformations "triangle-étoile'', permettent de donner des formules exactes pour les observables d'intérêt. Dans un premier temps, nous étudions la transformation triangle-étoile du modèle d'Ising, reformulée par Kashaev en une équation d'évolution polynomiale. Nous montrons que cette évolution fait apparaître des objets combinatoires : les modèles de boucles C2(1). Nous montrons de plus des résultats de formes limites et des calculs d'énergie libre pour ces modèles de boucles. Dans un second temps, nous développons la compréhension du modèle des ``huit sommets'', qui généralise les modèles de glace. Nous montrons que dans le régime des fermions libres, ces modèles peuvent être compris via des modèles de dimères bipartis, et des fortes structures d'intégrabilité de ces derniers. Nous en déduisons des constructions de mesures de Gibbs et des corrélations en volume infini, notamment pour des régimes Z-invariants sur des graphes isoradiaux. Enfin, nous proposons des interprétations des équations de Yang-Baxter en géométrie discrète, via des plongements particuliers de graphes.

This thesis deals with several problems in statistical mechanics, related to the study of integrable models. In these models, some particular symmetries, like those expressed by the Yang-Baxter equations or "star-triangle'' transformations, lead to the existence of exact formulas for observables of interest.In a first part, we study the star-triangle transformation of the Ising model, recast into a singe polynomial evolution equation by Kashaev. We show that this evolution creates combinatorial objects: C2(1) loop models. We show some limit shapes results and compute the free energy of these loop models. In a second part, we develop the study of the ``eight-vertex'' model, that generalises ice models. In the free-fermion regime, we translate these models into dimers on a bipartite graph, and use the strong integrability structures of these. We deduce the construction of Gibbs measures and correlations in infinite volume, in particular for Z-invariant regimes on isoradial graphs. Finally, we suggest interpretations of the Yang-Baxter equations in discrete geometry, via particular embeddings of graphs.