Sur les ensembles de rotation des homéomorphismes de surface en genre ≥ 2

On rotation sets for surface homeomorphisms in genus ≥ 2

• Auteur / Autrice : Gabriel Lellouch
• Direction : Patrice Le Calvez
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 01/04/2019
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Christian Bonatti
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Frédéric Le Roux, Isabelle Liousse
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : François Béguin, Martín Sambarino

Mots clés

Mots clés contrôlés

Entropie

Homéomorphismes

Systèmes dynamiques

Surfaces (mathématiques)

Mots clés libres

Homéomorphisme de surface

Ensemble de rotation

Théorie de forçage

Feuilletage transverse

Cycles asymptotiques

Nombre d'intersection

Entropie

Points périodiques

Surface homeomorphisms

Rotation set

Forcing theory

Transverse foliation

Asymptotic cycles

Intersection number

Entropy

Periodic points

Résumé

L’un des principaux invariants dynamiques associés à un homéomorphisme de surface isotope à l’identité est son ensemble de rotation, décrivant les vitesses et directions asymptotiques moyennes selon lesquelles les points “tournent” autour de la surface sous l’action de l’homéomorphisme. Sur le tore en particulier, de nombreux résultats relient la forme ou la taille de l’ensemble de rotation à des propriétés dynamiques de l’homéomorphisme. Cette thèse a pour but de généraliser au cas des surfaces de genre ≥ 2 un certain nombre de résultats connus sur le tore pour les homéomorphismes ayant un “gros” ensemble de rotation : positivité de l’entropie, réalisation de vecteurs de rotation par des points périodiques, déviations bornées, etc. L’outil principal utilisé est la théorie de forçage de Le Calvez et Tal, reposant sur la construction d’un feuilletage transverse et l’étude des trajectoires des points relativement à ce feuilletage. Les deux premiers chapitres présentent des résultats préliminaires à ce cadre général. Au chapitre 3, nous menons une étude globale sur les cycles asymptotiques de points dont les trajectoires ont des directions homologiques qui s’intersectent. Nous montrons que cette situation suffit à assurer la positivité de l’entropie, ce qui permet d’aboutir à la généralisation de deux résultats connus sur le tore, les théorèmes de Llibre-Mackay et de Franks. Enfin, au chapitre 4, nous montrons à l’aide de ce dernier résultat qu’un homéomorphisme dont l’ensemble de rotation contient 0 dans son intérieur est à déviation bornée, généralisant encore une propriété connue sur le tore. Nous terminons avec diverses conséquences de ce résultat.

One of the main dynamical invariants related to a surface homeomorphism isotopic to identity is its rotation set, which describes the asymptotic average speeds and directions with which the points “rotate” around the surface under the action of the homeomorphism. On the torus in particular, many results link the shape or the size of the rotation set to dynamical properties of the homeomorphism. The aim of this thesis is to generalize to the case of surfaces of genus _ 2 a certain number of results, well-known on the torus, for homeomorphisms with a “big” rotation set : positivity of the entropy, realization of rotation vectors by periodic points, bounded deviations, etc. The leading tool used is the forcing theory by Le Calvez and Tal, based on the construction of a transverse foliation and the study of trajectories of points relatively to this foliation. The first two chapters present some preliminary results in this general context. In chapter 3, we conduct a general study on the asymptotic cycles of points whose trajectories have homological directions that intersect. We show that this situation is sufficient to ensure the positivity of the entropy, which leads us to derive a generalization of two well-known results on the torus, Llibre-Mackay and Franks theorems. Finally, in chapter 4, we use this last result to show that a homeomorphism for which 0 lies in the interior of the rotation set has bounded deviations, generalizing again a well-known property on the torus. We conclude with some consequences of this result.