Sur les l-blocs de niveau zéro des groupes p-adiques

On the depth zero l-blocks of p-adic groups

• Auteur / Autrice : Thomas Lanard
• Direction : Jean-François Dat
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 28/01/2019
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Anne-Marie Aubert
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Ramla Abdellatif, David Helm, Alberto Minguez Espallargas, Marie-France Vignéras
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Vincent Sécherre, Shaun Stevens

Mots clés

Mots clés contrôlés

Programme de Langlands

Immeubles (théorie des groupes)

Groupes p-adiques

Mots clés libres

Représentations

Correspondance de Langlands locale

Groupes p-Adiques

L-Blocs

Immeuble de Bruhat-Tits

Deligne-Lusztig

Representations

Local Langlands correspondence

P-adic groups

I-blocks

Bruhat-Tits building

Deligne-Lusztig

Résumé

Soit G un groupe p-adique se déployant sur une extension non-ramifiée. Nous décomposons Rep0 Λ(G), la catégorie abélienne des représentations lisses de G de niveau 0 àc oefficients dans Λ = Q` ou Z`, en un produit de sous-catégories. Ces dernières sont construites à partir de systèmes d’idempotents sur l’immeuble de Bruhat-Tits et de la théorie de Deligne-Lusztig. Une première décomposition est obtenue à partir des paramètres inertiels à valeurs dans le dual de Langlands. Nous étudions ensuite la plus fine décomposition de Rep0 Λ(G) que l’on puisse obtenir par cette méthode. Nous en donnons deux descriptions, une première du côté du groupe à la Deligne-Lusztig, puis une deuxième du côté dual à la Langlands. Nous prouvons plusieurs propriétés fondamentales comme la compatibilité à l’induction et la restriction parabolique ou à la correspondance de Langlands locale. Les facteurs de cette décomposition ne sont pas des blocs, mais on montre comment les regrouper pour obtenir les blocs "stables". Certains de ces résultats corroborent une conjecture énoncée par Dat dans [Dat17]. Nous montrons également que toutes ces catégories sont équivalentes à des catégories obtenues à partir de systèmes de coefficients sur l’immeuble. Enfin, nous obtenons la décomposition en `-blocs dans certains cas particuliers.

Let G be a p-adic group that splits over an unramified extension. We decompose Rep0 Λ(G), the abelian category of smooth level 0 representations of G with coefficients in Λ = Q` or Z`, into a product of subcategories. These categories are constructed via systems of idempotents on the Bruhat-Tits building and Deligne-Lusztig theory. A first decomposition is indexed by inertial Langlands parameters. We study the finest decomposition of Rep0 Λ(G) that can be obtained by this method. We give two descriptions of it, a first one on the group side à la Deligne-Lusztig, and a second one on the dual side à la Langlands. We prove several fundamental properties, like for example the compatibility to parabolic induction and restriction or the compatibility to the local Langlands correspondence. The factors of this decomposition are not blocks, but we show how to group them to obtain "stable" blocks. Some of these results support a conjecture given by Dat in [Dat17]. We also show that these categories are equivalent to categories obtained by systems of coefficient on the Bruhat-Tits building. Finally, we get `-blocks decompositions in some particular cases.