p-adic families of special cycles on a tower of unitary Shimura varieties
Familles p-adiques de cycles spéciaux sur une tour de variétés de Shimura unitaires
Résumé
We study the p-adic properties of a family of special algebraic 1-cycles defined on a 3-dimensional unitary Shimura variety which appears in the setting of the Gan-Gross-Prasad conjectures. These cycles, introduced by Jetchev and also studied by Boumasmoud-Brooks-Jetchev and Boumasmoud, arise from the diagonal embedding of U(1,1) inside U(2,1) x U(1,1) attached to a CM extension E/F. These satisfy "horizontal" and "vertical" distribution relations for their conductors, making this family a new instance of a geometric Euler system generalizing the family of "CM-points" on modular curves, whose use by Kolyvagin provided a major conceptual advance towards the BSD conjecture. The proof of these local relations between the Galois action and the action of the Hecke algebra of G= U(2,1) x U(1,1) make full use of some operators acting on the local Bruhat-Tits building of G, at the corresponding finite places of F. We construct a tau-local filtration of G - for some inert place tau of F above p - by Iwahori-type compact open subgroups, which are the stabilizers of an increasing family of segments in a same apartment. We adapt to segments the notion of "successor" operators studied by Boumasmod-Brooks-Jetchev and show that these arise from the local Iwahori-Hecke algebra. We show that the tower of varieties induced by this filtration makes the Galois and Hecke actions "compatible" with the change-of-level maps. This level-wise vertical relation is an ingredient towards the existence of a p-adic family of Euler systems in the middle-degree étale cohomology of the Shimura variety attached to G.
Nous étudions les propriétés p-adiques d’une famille de 1-cycles algébriques spéciaux sur une variété de Shimura unitaire de dimension 3 apparaissant dans le cadre des conjectures de Gan-Gross-Prasad. Ces cycles, introduits par D.Jetchev et étudiés également par Boumasmoud-Brooks-Jetchev et R.Boumasmoud, proviennent du plongement diagonal de U(1,1) dans U(2,1) x U(1,1) associé à une extension CM E/F. Ils satisfont des relations de distribution "horizontales" et "verticales" sur leur conducteur, faisant de cette famille un nouvel exemple de système d’Euler géométrique généralisant celui des "points CM" sur la courbe modulaire, dont l'exploitation par V.Kolyvagin permit une avancée conceptuelle majeure dans l'attaque de la conjecture BSD. La preuve de ces relations locales entre action de Galois et celle de l'algèbre de Hecke de G = U(2,1) x U(1,1) exploite les propriétés de certains opérateurs agissant sur l'immeuble de Bruhat-Tits de G, en les places finies de F correspondantes. Nous construisons, en une place tau inerte de F divisant p, une filtration de G par des sous-groupes ouverts compacts de type Iwahori définis comme les stabilisateurs d'une famille croissante de segments d'un même appartement. Nous adaptons au cas des segments la notion d'opérateurs "successeurs" étudiés par Boumasmoud-Brooks-Jetchev et montrons que ceux-ci proviennent de l'algèbre de Hecke-Iwahori locale. Nous démontrons que la tour de variétés de Shimura induite par cette filtration rend "compatibles" les actions de Galois et Hecke sur les cycles avec les morphismes de changement de niveau. Cette relation verticale sur le niveau est un ingrédient en faveur de l'existence d'un système d'Euler en familles p-adiques dans la cohomologie étale en degré médian de la variété de Shimura de groupe G.
Origine : Version validée par le jury (STAR)
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