Thèse soutenue

Cycles séparants, isopérimétrie et modifications de distances dans les grandes cartes planaires aléatoires
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Auteur / Autrice : Thomas Lehéricy
Direction : Jean-François Le Gall
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
Date : Soutenance le 04/12/2019
Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris-Sud (1970-2019)
Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
Jury : Président / Présidente : Bénédicte Haas
Examinateurs / Examinatrices : Jean-François Le Gall, Bénédicte Haas, Guillaume Chapuy, Marie Albenque, Laurent Ménard, Nicolas Curien
Rapporteurs / Rapporteuses : Sigurdur Örn Stefansson, Timothy Budd

Résumé

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Les cartes planaires sont des graphes planaires dessinés sur la sphère et vus à déformation près. De nombreuses propriétés des cartes sont supposées universelles, dans le sens où elles ne dépendent pas des détails du modèle choisi. Nous commençons par établir une inégalité isopérimétrique dans la quadrangulation infinie du plan. Nous confirmons également une conjecture de Krikun portant sur la longueur des cycles les plus courts séparant la boule de rayon r de l'infini. Dans un deuxième temps, nous nous intéressons à l'effet de modifications de distances sur la géométrie à grande échelle des quadrangulations uniformes, élargissant la classe d'universalité de la carte brownienne. Nous montrons également que la bijection de Tutte, entre quadrangulations et cartes planaires, est asymptotiquement une isométrie. Enfin, nous établissons une borne supérieure sur le temps de mélange de la marche aléatoire dans les cartes aléatoires.