Propriétés asymptotiques des solutions à données petites du système de Vlasov-Maxwell

Asymptotic properties of the small data solutions of the Vlasov-Maxwell system

• Auteur / Autrice : Léo Bigorgne
• Direction : Jacques Smulevici
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 25/06/2019
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris-Sud (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : Philippe G. LeFloch
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jacques Smulevici, Philippe G. LeFloch, Jérémie Szeftel, Cécile Huneau, Frédéric Rousset, Christophe Pallard
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jérémie Szeftel, Jonathan Luk

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations cinétiques

Équations d'onde

Équations aux dérivées partielles non linéaires

Mots clés libres

EDP Hyperboliques

Système de Vlasov-Maxwell

Equations non-Linéaires

Equations d'ondes et de transport

Méthodes de champs de vecteurs

Structure isotrope

Hyperbolic PDE

Vlasov-Maxwell system

Non linear equations

Wave and transport equations

Vector field methods

Null structure

Résumé

L'objectif de cette thèse est de décrire le comportement asymptotique des solutions à données petites du système de Vlasov-Maxwell. En particulier, on s'attachera à étudier tant le champ électromagnétique que le champ de Vlasov par des méthodes de champs de vecteurs, nous permettant ainsi d'éviter toute contrainte de support sur les données initiales. La structure isotrope du système de Vlasov-Maxwell est d'une importance capitale pour compenser le phénomène de résonance causé par les particules approchant la vitesse de propagation du champ électromagnétique. De ce fait, plusieurs parties de ce manuscrit sont dédiées à sa description. Ajoutons également que les méthodes de champs de vecteurs sont connues pour être robustes et s'adapter relativement bien à d'autres situations telles que l'étude des solutions de l'équation des ondes sur un espace-temps courbé. Cette souplesse nous a notamment permis, contrairement aux travaux précédents sur ce sujet, de considérer des plasmas avec des particules sans masse.Notre étude débute par le cas des grandes dimensions d ≥ 4 où les effets dispersifs sont plus importants et permettent ainsi d'obtenir de meilleurs taux de décroissance sur les solutions du système et leurs dérivées. Une nouvelle inégalité de décroissance pour les solutions d'une équation de transport relativiste constitue d'ailleurs un élément central de la démonstration. Afin d'établir un résultat analogue dans le cas où les particules sont sans masse, nous avons dû imposer que le champ de Vlasov s'annule initialement pour les petites vitesses puis nous avons ensuite montré que cette hypothèse était nécessaire. Dans un second temps, nous nous intéressons au cas tridimensionnel avec des particules sans masse, où une étude plus poussée de la structure des équations sera nécessaire afin d'obtenir les taux de décroissance optimaux pour les composantes isotropes du champ électromagnétique, les moyennes en vitesse de la fonction de distribution et leurs dérivées. Nous nous concentrons ensuite sur l'étude du comportement asymptotique des solutions à données petites du système de Vlasov-Maxwell massif en dimension 3. Des difficultés spécifiques nous forcent à modifier les champs de vecteurs utilisés précédemment pour l'équation de transport dans le but de compenser les pires termes d'erreurs des équations commutées. Enfin, on considère le même problème en se restreignant à l'étude des solutions à l'extérieur d'un cône de lumière. Les fortes propriétés de décroissance vérifiées par la moyenne en vitesse de la densité de particules dans cette région nous permettent d'affaiblir les hypothèses sur les données initiales et d'avoir une démonstration considérablement plus simple.

The purpose of this thesis is to study the asymptotic properties of the small data solutions of the Vlasov-Maxwell system using vector field methods for both the electromagnetic field and the particle density. No compact support asumption is required on the initial data. Instead, we make crucial use of the null structure of the equations in order to deal with a resonant phenomenon caused by the particles approaching the speed of propagation of the Maxwell equations. Due to the robustness of vector field methods and contrary to previous works on this topic, we also study plasmas with massless particles.We start by investigating the high dimensional cases d ≥ 4 where dispersive effects allow us to derive strong decay rate on the solutions of the system and their derivatives. For that purpose, we proved a new decay estimate for solutions to massive relativistic transport equations. In order to obtain an analogous result for massless particles, we required the velocity support of the distribution function to be initially bounded away from 0 and we then proved that this assumption is actually necessary. The second part of this thesis is devoted to the three dimensional massless case, where a stronger understanding of the null structure of the Vlasov-Maxwell system is essential in order to derive the optimal decay rate of the null components of the electromagnetic field, the velocity average of the particle density and their derivatives. We then focus on the asymptotic behavior of the small data solutions of the massive Vlasov-Maxwell system in 3d. Specific problems force us to modify the vector fields used previously to study the Vlasov field in order to compensate the worst error terms in the commuted transport equations. Finally, still for the massive system in 3d, we restrict our study of the solutions to the exterior of a light cone. The strong decay properties satisfied by the velocity average of the particle density in such a region permit us to relax the hypothesis on the initial data and lead to a much simpler proof.