X-Valuation adjustments computations by nested simulation on graphics processing units

par Babacar Diallo

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Stéphane Crépey.

Soutenue le 09-12-2019

à l'Université Paris-Saclay (ComUE) , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....) , en partenariat avec Laboratoire de Mathématiques et Modélisation d'Évry (Evry, Essonne) (laboratoire) et de Université d'Évry-Val-d'Essonne (établissement opérateur d'inscription) .

Le président du jury était Agathe Guilloux.

Le jury était composé de Stéphane Crépey, Agathe Guilloux, Aurélien Alfonsi, Lokmane Abbas-Turki, Gilles Pagès.

Les rapporteurs étaient Aurélien Alfonsi.

mots clés

• Xva
• Simulation imbriquée
• Processeurs graphiques
• Mathématiques financières
• Gestion du risque

Titre traduit

Calcul de XVAs par simulation imbriquée sur graphics processing units

Résumé

Cette thèse traite du calcul des X-valorisation d'ajustement, où X englobe C pour le crédit, F pour le financement, M pour la marge et K pour le capital. Nous étudions différentes approches basées sur la simulation imbriquée et implémentées sur des unités de traitement graphique (GPU). Nous examinons d'abord le problème, pour une assurance ou une banque, du calcul numérique de son capital économique sous la forme d'une "value-at-risk" ou d'une "expected shortfall" de sa perte sur un horizon de temps donné. En utilisant une approche d'approximation stochastique sur la value-at-risk, ou l'expected shortfall nous établissons la convergence des schémas résultants de la simulation du capital économique. Ensuite, nous présentons une approche de Monte Carlo imbriquée (NMC) pour le calcul des XVA. Nous montrons que le calcul global des XVA implique cinq niveaux de dépendance. Les couches les plus hautes sont d'abord lancées et déclenchent des simulations imbriquées à la volée si nécessaire pour calculer un élément à partir d'une couche inférieure. Enfin, nous présentons un algorithme basé sur un Monte Carlo imbriqué à une couche (1NMC) pour simuler les fonctions U d'un processus de Markov X. La principale originalité de la méthode proposée provient du fait qu'elle fournit une recette pour simuler U_{t>=s} conditionnellement à X_s. La généralité, la stabilité et le caractère itératif de cet algorithme, même en haute dimension, en font la force.

mots clés

• Xva
• Nested simulation

Résumé

This thesis deals with X-valuation adjustment computation, where X ranges over C for credit, F for funding, M for margin, and K for capital. We investigated different approach based on nested simulation and implemented on graphics processing units (GPU). First, we consider the problem of the numerical computation of its economic capital by an insurance or a bank, in the form of a value-at-risk or expected shortfall of its loss over a given time horizon. Using a stochastic approximation point of view on value-at-risk and expected shortfall, we establish the convergence of the resulting economic capital simulation schemes. Then we present a nested Monte Carlo (NMC) approach for XVA's computation. We show that the overal XVA suite involves five coupound layers of dependence. Higher layers are launched first and trigger nested simulations on-the-fly whenever required in order to compute an item from a lower layer. Finally, we present an algorithm based on a One-layered Nested Monte Carlo (1NMC) to simulate functionals U of a Markov process X. The main originality of the proposed method comes from the fact that it provides a recipe to simulate U_{t>=s} conditionally on X_s. The generality, the stability and the iterative nature of this algorithm, even in high dimension, make its strength.