Entropy-regularized Optimal Transport for Machine Learning

par Aude Genevay

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Gabriel Peyré.

Soutenue le 13-03-2019

à Paris Sciences et Lettres (ComUE) , dans le cadre de Ecole doctorale SDOSE (Paris) , en partenariat avec Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) (laboratoire) , Université Paris Dauphine-PSL (1968-....) (établissement de préparation de la thèse) et de Institut de Recherche Interdisciplinaire en Sciences Sociales / IRISSO (laboratoire) .

Le président du jury était Jean-Michel Loubès.

Le jury était composé de Gabriel Peyré, Jean-Michel Loubès, Stefanie Jegelka, Lorenzo Rosasco, Olivier Bousquet, Francis Bach, Jean-David Benamou, Jérémie Bigot, Marco Cuturi, Rémi Flamary.

Les rapporteurs étaient Stefanie Jegelka, Lorenzo Rosasco.

mots clés

• Transport Optimal
• Apprentissage Statistique
• Systèmes auto-organisés
• Intelligence artificielle

Titre traduit

Transport Optimal pour l'Apprentissage Automatique

Résumé

Le Transport Optimal régularisé par l’Entropie (TOE) permet de définir les Divergences de Sinkhorn (DS), une nouvelle classe de distance entre mesures de probabilités basées sur le TOE. Celles-ci permettent d’interpoler entre deux autres distances connues : le Transport Optimal (TO) et l’Ecart Moyen Maximal (EMM). Les DS peuvent être utilisées pour apprendre des modèles probabilistes avec de meilleures performances que les algorithmes existants pour une régularisation adéquate. Ceci est justifié par un théorème sur l’approximation des SD par des échantillons, prouvant qu’une régularisation sus ante permet de se débarrasser de la malédiction de la dimension du TO, et l’on retrouve à l’infini le taux de convergence des EMM. Enfin, nous présentons de nouveaux algorithmes de résolution pour le TOE basés sur l’optimisation stochastique « en-ligne » qui, contrairement à l’état de l’art, ne se restreignent pas aux mesures discrètes et s’adaptent bien aux problèmes de grande dimension.

mots clés

• Optimal Transport
• Machine Learning

Résumé

This thesis proposes theoretical and numerical contributions to use Entropy-regularized Optimal Transport (EOT) for machine learning. We introduce Sinkhorn Divergences (SD), a class of discrepancies between probability measures based on EOT which interpolates between two other well-known discrepancies: Optimal Transport (OT) and Maximum Mean Discrepancies (MMD). We develop an ecient numerical method to use SD for density fitting tasks, showing that a suitable choice of regularization can improve performance over existing methods. We derive a sample complexity theorem for SD which proves that choosing a large enough regularization parameter allows to break the curse of dimensionality from OT, and recover asymptotic rates similar to MMD.We propose and analyze stochastic optimization solvers for EOT, which yield online methods that can cope with arbitrary measures and are well suited to large scale problems, contrarily to existing discrete batch solvers.