Thèse soutenue

Recollement sur les Espaces de Berkovich et Principe Local-Global
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Auteur / Autrice : Vlere Mehmeti
Direction : Jérôme Poineau
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 04/12/2019
Etablissement(s) : Normandie
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, information et ingénierie des systèmes (Caen)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme (Caen ; 2002-....)
établissement de préparation : Université de Caen Normandie (1971-....)
Jury : Président / Présidente : David Harari
Examinateurs / Examinatrices : Jérôme Poineau, David Harari, Annette Werner, David Harbater, Antoine Ducros, Philippe Gille
Rapporteurs / Rapporteuses : David Harari, Annette Werner

Résumé

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Le recollement sur les corps, introduit par Harbater et Hartmann, et étendu par ces auteurs et Krashen, a récemment trouvé de nombreuses applications. Nous présentons ici une extension de cette technique au cadre de la géométrie analytique de Berkovich et des applications au principe local-global.Nous montrons que cette adaptation du recollement peut s'appliquer aux courbes analytiques de Berkovich, et par conséquent obtenons des principes locaux-globaux sur les corps de fonctions de courbes définies sur des corps ultramétriques complets. Grâce à la connexion entre les points d'une courbe analytique de Berkovich et les valuations dont on peut munir son corps de fonctions, nous obtenons un principe local-global par rapport à des complétés du corps de fonctions considéré, ce qui présente une ressemblance avec des versions plus classiques. En application, nous établissons des principes locaux-globaux dans le cas plus précis des formes quadratiques et en déduisons des bornes sur l'u-invariant de certains corps. Nos résultats généralisent ceux de Harbater, Hartmann et Krashen.Comme point de départ pour le recollement en dimension supérieure dans un cadre d'espaces de Berkovich, nous montrons que cette technique peut s'appliquer autour de certaines fibres d'une courbe analytique relative. Nous l'utilisons ensuite pour démontrer un principe local-global sur les germes des fonctions méromorphes sur ces fibres. En montrant que ces germes de fonctions méromorphes sont algébriques, nous obtenons aussi des principes locaux-globaux sur les corps de fonctions des courbes algébriques définies sur une famille plus vaste de corps ultramétriques.