Réseaux idéaux et fonction multilinéaire GGH13

par Alice Pellet--Mary

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Damien Stehlé.

Soutenue le 16-10-2019

à Lyon , dans le cadre de École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon , en partenariat avec École normale supérieure de Lyon (établissement opérateur d'inscription) , Laboratoire de l'informatique du parallélisme (Lyon) (laboratoire) et de Arithmetic and Computing (laboratoire) .

Le président du jury était David Pointcheval.

Le jury était composé de Damien Stehlé, David Pointcheval, Jung Hee Cheon, Frederik Vercauteren, Shweta Agrawal.

Les rapporteurs étaient David Pointcheval, Jung Hee Cheon, Frederik Vercauteren.


  • Résumé

    La cryptographie à base de réseaux euclidiens est un domaine prometteur pour la construction de primitives cryptographiques post-quantiques. Un problème fondamental, lié aux réseaux, est le problème du plus court vecteur (ou SVP, pour Shortest Vector Problem). Ce problème est supposé être difficile à résoudre même avec un ordinateur quantique. Afin d’améliorer l’efficacité des protocoles cryptographiques, on peut utiliser des réseaux structurés, comme par exemple des réseaux idéaux ou des réseaux modules (qui sont une généralisation des réseaux idéaux). La sécurité de la plupart des schémas utilisant des réseaux structurés dépend de la difficulté du problème SVP dans des réseaux modules, mais un petit nombre de schémas peuvent également être impactés par SVP dans des réseaux idéaux. La principale construction pouvant être impactée par SVP dans des réseaux idéaux est la fonction multilinéaire GGH13. Cette fonction multilinéaire est principalement utilisée aujourd’hui pour construire des obfuscateurs de programmes, c’est-à-dire des fonctions qui prennent en entrée le code d’un programme et renvoie le code d’un programme équivalent (calculant la même fonction), mais qui doit cacher la façon dont le programme fonctionne.Dans cette thèse, nous nous intéressons dans un premier temps au problème SVP dans les réseaux idéaux et modules. Nous présentons un premier algorithme qui, après un pre-calcul exponentiel, permet de trouver des vecteurs courts dans des réseaux idéaux plus rapidement que le meilleur algorithme connu pour des réseaux arbitraires. Nous présentons ensuite un algorithme pour les réseaux modules de rang 2, également plus efficace que le meilleur algorithme connu pour des réseaux arbitraires, à condition d’avoir accès à un oracle résolvant le problème du plus proche vecteur dans un réseau fixé. Le pré-calcul exponentiel et l’oracle pour le problème du plus proche vecteurs rendent ces deux algorithmes inutilisables en pratique.Dans un second temps, nous nous intéressons à la fonction GGH13 ainsi qu’aux obfuscateurs qui l’utilisent. Nous étudions d’abord l’impact des attaques statistiques sur la fonction GGH13 et ses variantes. Nous nous intéressons ensuite à la sécurité des obfuscateurs utilisant la fonction GGH13 et proposons une attaque quantique contre plusieurs de ces obfuscateurs. Cette attaque quantique utilise entre autres un algorithme calculant un vecteur court dans un réseau idéal dépendant d’un paramètre secret de la fonction GGH13.

  • Titre traduit

    On ideal lattices and the GGH13 multilinear map


  • Résumé

    Lattice-based cryptography is a promising area for constructing cryptographic primitives that are plausibly secure even in the presence of quantum computers. A fundamental problem related to lattices is the shortest vector problem (or SVP), which asks to find a shortest non-zero vector in a lattice. This problem is believed to be intractable, even quantumly. Structured lattices, for example ideal lattices or module lattices (the latter being a generalization of the former), are often used to improve the efficiency of lattice-based primitives. The security of most of the schemes based on structured lattices is related to SVP in module lattices, and a very small number of schemes can also be impacted by SVP in ideal lattices.In this thesis, we first focus on the problem of finding short vectors in ideal and module lattices.We propose an algorithm which, after some exponential pre-computation, performs better on ideal lattices than the best known algorithm for arbitrary lattices. We also present an algorithm to find short vectors in rank 2 modules, provided that we have access to some oracle solving the closest vector problem in a fixed lattice. The exponential pre-processing time and the oracle call make these two algorithms unusable in practice.The main scheme whose security might be impacted by SVP in ideal lattices is the GGH13multilinear map. This protocol is mainly used today to construct program obfuscators, which should render the code of a program unintelligible, while preserving its functionality. In a second part of this thesis, we focus on the GGH13 map and its application to obfuscation. We first study the impact of statistical attacks on the GGH13 map and on its variants. We then study the security of obfuscators based on the GGH13 map and propose a quantum attack against multiple such obfuscators. This quantum attack uses as a subroutine an algorithm to find a short vector in an ideal lattice related to a secret element of the GGH13 map.


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