Certified numerics in function spaces : polynomial approximations meet computer algebra and formal proof

par Florent Bréhard

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Mioara Maria Joldes et de Mioara Maria Joldes.

Soutenue le 12-07-2019

à Lyon , dans le cadre de École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon , en partenariat avec École normale supérieure de Lyon (2010-...) (établissement opérateur d'inscription) , Laboratoire de l'informatique du parallélisme (Lyon) (laboratoire) , Laboratoire d'Analyse et d'Architecture des Systèmes (Toulouse ; 1968-....) (laboratoire) et de Arithmetic and Computing (laboratoire) .

Le président du jury était Bernhard Beckermann.

Le jury était composé de Mioara Maria Joldes, Mioara Maria Joldes, Bernhard Beckermann, Sylvie Boldo, Daniel Wilczak, Damien Pous, Simone‏ D'Amico, Chee-Keng Yap.

Les rapporteurs étaient Sylvie Boldo, Daniel Wilczak, Damien Pous.

mots clés

• Calcul numérique rigoureux
• Approximations polynomiales rigoureuses
• Validation a posteriori
• Méthodes symboliques-numériques
• Preuve formelle
• Fonctions D-finies
• Aérospatial
• Arithmétique des ordinateurs
• Calcul formel
• Preuves assistées par ordinateur
• Calcul formel

Résumé

Le calcul rigoureux vise à produire des représentations certifiées pour les solutions de nombreux problèmes, notamment en analyse fonctionnelle, comme des équations différentielles ou des problèmes de contrôle optimal. En effet, certains domaines particuliers comme l’ingénierie des systèmes critiques ou les preuves mathématiques assistées par ordinateur ont des exigences de fiabilité supérieures à ce qui peut résulter de l’utilisation d’algorithmes relevant de l’analyse numérique classique.Notre objectif consiste à développer des algorithmes à la fois efficaces et validés / certifiés, dans le sens où toutes les erreurs numériques (d’arrondi ou de méthode) sont prises en compte. En particulier, nous recourons aux approximations polynomiales rigoureuses combinées avec des méthodes de validation a posteriori à base de points fixes. Ces techniques sont implémentées au sein d’une bibliothèque écrite en C, ainsi que dans un développement de preuve formelle en Coq, offrant ainsi le plus haut niveau de confiance, c’est-à-dire une implémentation certifiée.Après avoir présenté les opérations élémentaires sur les approximations polynomiales rigoureuses, nous détaillons un nouvel algorithme de validation pour des approximations sous forme de séries de Tchebychev tronquées de fonctions D-finies, qui sont les solutions d’équations différentielles ordinaires linéaires à coefficients polynomiaux. Nous fournissons une analyse fine de sa complexité, ainsi qu’une extension aux équations différentielles ordinaires linéaires générales et aux systèmes couplés de telles équations. Ces méthodes dites symboliques-numériques sont ensuite utilisées dans plusieurs problèmes reliés : une nouvelle borne sur le nombre de Hilbert pour les systèmes quartiques, la validation de trajectoires de satellites lors du problème du rendez-vous linéarisé, le calcul de polynômes d’approximation optimisés pour l’erreur d’évaluation, et enfin la reconstruction du support et de la densité pour certaines mesures, grâce à des techniques algébriques.

mots clés

• Rigorous numerics
• Rigorous polynomial approximations
• A posteriori validation
• Symbolic-numeric methods
• Formal proof
• D-finite functions
• Aerospace
• Computer arithmetic
• Computer algebra
• Computer assisted proofs

Titre traduit

Calcul numérique certifié dans les espaces fonctionnels : Un trilogue entre approximations polynomiales rigoureuses, calcul symbolique et preuve formelle

Résumé

Rigorous numerics aims at providing certified representations for solutions of various problems, notably in functional analysis, e.g., differential equations or optimal control. Indeed, specific domains like safety-critical engineering or computer-assisted proofs in mathematics have stronger reliability requirements than what can be achieved by resorting to standard numerical analysis algorithms. Our goal consists in developing efficient algorithms, which are also validated / certified in the sense that all numerical errors (method or rounding) are taken into account. Specifically, a central contribution is to combine polynomial approximations with a posteriori fixed-point validation techniques. A C code library for rigorous polynomial approximations (RPAs) is provided, together with a Coq formal proof development, offering the highest confidence at the implementation level.After providing basic operations on RPAs, we focus on a new validation algorithm for Chebyshev basis solutions of D-finite functions, i.e., solutions of linear ordinary differential equations (LODEs) with polynomial coefficients. We give an in-depth complexity analysis, as well as an extension to general LODEs, and even coupled systems of them. These symbolic-numeric methods are finally used in several related problems: a new lower bound on the Hilbert number for quartic systems; a validation of trajectories arising in the linearized spacecraft rendezvous problem; the design of evaluation error efficient polynomial approximations; and the support and density reconstruction of particular measures using algebraic techniques.