Modélisation par Processus Gaussiens sous Contraintes d'Inégalité

Gaussian Process Modelling under Inequality Constraints

• Auteur / Autrice : Andres Felipe Lopez Lopera
• Direction : Olivier Roustant
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 19/09/2019
• Etablissement(s) : Lyon
• Ecole(s) doctorale(s) : Ed Sis 488
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École nationale supérieure des mines (Saint-Etienne ; 1816-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Henri Fayol- Ecole des Mines de Saint-Etienne / PIESO - Institut Henri Fayol
• Jury : Président / Présidente : Clémentine Prieur
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Clémentine Prieur, Sonja Khunt, Anthony Nouy, Maurizio Filippone, François Bachoc, Nicolas Durrande
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Sonja Khunt, Anthony Nouy

Mots clés

Mots clés contrôlés

Monte-Carlo, Méthode de

Statistique bayésienne

Processus gaussiens

Mots clés libres

Methodes d'Inference Bayesienne

Processus Gaussiens

Metamodelisation sous Contraintes d'Inegalite

Methodes de Monte Carlo et Monte Carlo par chaines de Markov

Bayesian Inference Methods

Gaussian Processes

Metamodelling under Inequality Constraints

Monte Carlo and Markov Chain Monte Carlo Methods

Résumé

Le conditionnement de processus gaussiens (PG) par des contraintes d’inégalité permet d’obtenir des modèles plus réalistes. Cette thèse s’intéresse au modèle de type PG proposé par maatouk (2015), obtenu par approximation finie, qui garantit que les contraintes sont satisfaites dans tout l’espace. Plusieurs contributions sont apportées. Premièrement, nous étudions l’emploi de méthodes de monte carlo par chaı̂nes de markov pour des lois multinormales tronquées. Elles fournissent un échantillonnage efficacpour des contraintes d’inégalité linéaires. Deuxièmement, nous explorons l’extension du modèle, jusque-làlimité à la dimension trois, à de plus grandes dimensions. Nous remarquons que l’introduction d’un bruit d’observations permet de monter à la dimension cinq. Nous proposons un algorithme d’insertion des nœuds, qui concentre le budget de calcul sur les dimensions les plus actives. Nous explorons aussi la triangulation de delaunay comme alternative à la tensorisation. Enfin, nous étudions l’utilisation de modèles additifs dans ce contexte, théoriquement et sur des problèmes de plusieurs centaines de variables. Troisièmement, nous donnons des résultats théoriques sur l’inférence sous contraintes d’inégalité. La consistance et la normalité asymptotique d’estimateurs par maximum de vraisemblance sont établies. L’ensemble des travaux a fait l’objet d’un développement logiciel en R. Ils sont appliqués à des problèmes de gestion des risques en sûreté nucléaire et inondations côtières, avec des contraintes de positivité et monotonie. Comme ouverture, nous montrons que la méthodologie fournit un cadre original pour l’étude de processus de Poisson d’intensité stochastique.

Conditioning Gaussian processes (GPs) by inequality constraints gives more realistic models. This thesis focuses on the finite-dimensional approximation of GP models proposed by Maatouk (2015), which satisfies the constraints everywhere in the input space. Several contributions are provided. First, we study the use of Markov chain Monte Carlo methods for truncated multinormals. They result in efficient sampling for linear inequality constraints. Second, we explore the extension of the model, previously limited up tothree-dimensional spaces, to higher dimensions. The introduction of a noise effect allows us to go up to dimension five. We propose a sequential algorithm based on knot insertion, which concentrates the computational budget on the most active dimensions. We also explore the Delaunay triangulation as an alternative to tensorisation. Finally, we study the case of additive models in this context, theoretically and on problems involving hundreds of input variables. Third, we give theoretical results on inference under inequality constraints. The asymptotic consistency and normality of maximum likelihood estimators are established. The main methods throughout this manuscript are implemented in R language programming.They are applied to risk assessment problems in nuclear safety and coastal flooding, accounting for positivity and monotonicity constraints. As a by-product, we also show that the proposed GP approach provides an original framework for modelling Poisson processes with stochastic intensities.