ZX-Calculi for Quantum Computing and their Completeness

par Renaud Vilmart

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Emmanuel Jeandel et de Simon Perdrix.

Le président du jury était Stephan Merz.

Le jury était composé de Peter Selinger, Bob Coecke, Elham Kashefi, Christine Tasson.

Les rapporteurs étaient Peter Selinger, Bob Coecke.

  • Titre traduit

    ZX-Calculs pour l'informatique quantique et leur complétude


  • Résumé

    Le ZX-Calculus est un langage graphique puissant et intuitif, issu de la théorie des catégories, et qui permet de raisonner et calculer en quantique. Les évolutions quantiques sont vues dans ce formalisme comme des graphes ouverts, ou diagrammes, qui peuvent être transformés localement selon un ensemble d’axiomes qui préservent le résultat du calcul. Un aspect des plus importants du langage est sa complétude : Étant donnés deux diagrammes qui représentent la même évolution quantique, puis-je transformer l’un en l’autre en utilisant seulement les règles graphiques permises par le langage ? Si c’est le cas, cela veut dire que le langage graphique capture entièrement la mécanique quantique. Le langage est connu comme étant complet pour une sous-classe (ou fragment) particulière d’évolutions quantiques, appelée Clifford. Malheureusement, celle-ci n’est pas universelle : on ne peut pas représenter, ni même approcher, certaines évolutions. Dans cette thèse, nous proposons d’élargir l’ensemble d’axiomes pour obtenir la complétude pour des fragments plus grands du langage, qui en particulier sont approximativement universels, voire universels. Pour ce faire, dans un premier temps nous utilisons la complétude d’un autre langage graphique et transportons ce résultat au ZX-Calculus. Afin de simplifier cette fastidieuse étape, nous introduisons un langage intermédiaire, intéressant en lui-même car il capture un fragment particulier mais universel de la mécanique quantique : Toffoli-Hadamard. Nous définissons ensuite la notion de diagramme linéaire, qui permet d’obtenir une preuve uniforme pour certains ensembles d’équations. Nous définissons également la notion de décomposition d’un diagramme en valeurs singuliaires, ce qui nous permet de nous épargner un grand nombre de calculs. Dans un second temps, nous définissons une forme normale qui a le mérite d’exister pour une infinité de fragments du langage, ainsi que pour le langage lui-même, sans restriction. Grâce à cela, nous reprouvons les résultats de complétude précédents, mais cette fois sans utiliser de langage tiers, et nous en dérivons de nouveaux, pour d’autres fragments. Les états contrôlés, utilisés pour la définition de forme normale, s’avèrent en outre utiles pour réaliser des opérations non-triviales telles que la somme, le produit terme-à-terme, ou la concaténation.


  • Résumé

    The ZX-Calculus is a powerful and intuitive graphical language, based on category theory, that allows for quantum reasoning and computing. Quantum evolutions are seen in this formalism as open graphs, or diagrams, that can be transformed locally according to a set of axioms that preserve the result of the computation. One of the most important aspects of language is its completeness: Given two diagrams that represent the same quantum evolution, can I transform one into the other using only the graphical rules allowed by the language? If this is the case, it means that the graphical language captures quantum mechanics entirely. The language is known to be complete for a particular subclass (or fragment) of quantum evolutions, called Clifford. Unfortunately, this one is not universal: we cannot represent, or even approach, certain quantum evolutions. In this thesis, we propose to extend the set of axioms to obtain completeness for larger fragments of the language, which in particular are approximately universal, or even universal. To do this, we first use the completeness of another graphical language and transport this result to the ZX-Calculus. In order to simplify this tedious step, we introduce an intermediate language, interesting in itself as it captures a particular but universal fragment of quantum mechanics: Toffoli-Hadamard. We then define the notion of a linear diagram, which provides a uniform proof for some sets of equations. We also define the notion of singular value decomposition of a diagram, which allows us to avoid a large number of calculations. In a second step, we define a normal form that exists for an infinite number of fragments of the language, as well as for the language itself, without restriction. Thanks to this, we reprove the previous completeness results, but this time without using any third party language, and we derive new ones for other fragments. The controlled states, used for the definition of the normal form, are also useful for performing non-trivial operations such as sum, term-to-term product, or concatenation.


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