Identités intégrales et estimations explicites associées pour les fonctions sommatoires liées à la fonction de Möbius et autres fonctions arithmétiques

Integral identities and explicit estimations associated with summatory functions related to the Möbius and other arithmetical functions

• Auteur / Autrice : Florian Daval
• Direction : Jean-François Burnol, Bruno Martin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 25/10/2019
• Etablissement(s) : Université de Lille (2018-2021)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille ; 1992-2021)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions d'une variable réelle

Théorie des nombres

Fonction de Möbius

Fonctions arithmétiques

Nombres premiers

Mots clés libres

Fonction sommatoire

Résumé

Cette thèse développe, tant du point de vue théorique que de celui des explorations numériques, la théorie dite explicite des nombres premiers, principalement sous l'angle de la variable réelle. Elle s'inscrit dans un cadre initié par Michel Balazard qui met en avant des identités intégrales reliant la fonction sommatoire M des coefficients de Möbius avec sa variante logarithmique m. Nous présentons un mécanisme systématique de fabrication de telles identités, avec comme paramètre une fonction g intégrable sur [0,1]. Nous étudions particulièrement le cas des g polynomiales (il englobe toutes les identités précédemment publiées par Balazard), en cherchant à optimiser certaines normes sup pour l'utilisation des identités intégrales associées. Nous détaillons la stratégie des explorations numériques, dont l'objectif in fine est l'étude de constantes implicitement définies par Balazard. Puis nous revenons à l'obtention de valeurs exactes pour sup {|m(x)-M(x)/x| (log x)^j : x≻T} pour j=0,1,2 et certains T. Par la suite, nous obtenons une minoration en moyenne effective de |M| qui est apparentée à un résultat antérieur de Pintz, mais notre approche est essentiellement différente car elle n'utilise presque pas d'analyse complexe. Et nous donnons le résultat analogue pour la fonction sommatoire de la fonction de Liouville. Par ailleurs nous nous intéressons aux meilleures estimations connues non-effectives pour M(x) et montrons comment les transformer en des estimations de xm(x) - M(x) du même type. Les techniques et résultats obtenus pour m et M sont partiellement étendus à d'autres fonctions arithmétiques.

This thesis develops both theoretical and numerical aspects of the explicit theory of prime numbers, mainly from the real analysis viewpoint. Its general framework was initiated by Michel Balazard who obtained integral identities relating the summatory function M of the Möbius coefficients with its logarithmic variant m. We present a systematic mechanism towards such identities, with an integrable function g on [0,1] as parameter. We focus particularly on polynomial g's (as they provide all identities previously published by Balazard), and aim at optimizing some sup norm for the use of the associated identities of integrals. We detail the strategy of numerical explorations, whose ultimate objective is the study of some constants tacitly defined byBalazard. Then we turn to obtaining exact values for sup{|m(x)-M(x)/x| (\log x)^j : x≻T } for j=0,1,2 and some T's. Next, we obtain an effective lower bound of an average of |M|, related to a result of Pintz, but with a fundamentally distinct approach using almost no complex analysis. And we then give the analogous result for the summatory function of the Liouville coefficients. Also, we consider the best known non-effective estimates for M(x) and show how to transform them into estimates of xm(x) - M(x) of the same type. The techniques and obtained results dealing with m and M are partially extended to other arithmetical functions.