Indices de Maslov asymptotiques

Asymptotic Maslov indices

• Auteur / Autrice : Anna Florio
• Direction : Marie-Claude Arnaud, Andrea Venturelli
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Agrosciences et sciences
• Date : Soutenance le 25/10/2019
• Etablissement(s) : Avignon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale 536 « Sciences et agrosciences » (Avignon)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques d'Avignon (Avignon)
• Jury : Président / Présidente : Philippe Bolle
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Philippe Bolle, François Béguin, Patrice Le Calvez, Jean-Pierre Marco, Ana Rechtman
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : François Béguin, Patrice Le Calvez

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hausdorff, Mesures de

Difféomorphismes

Systèmes dynamiques

Théorie ergodique

Systèmes hamiltoniens

Mots clés libres

Systèmes hamiltoniens

Mathématiques

Théorie ergodique

Systèmes dynamiques lisses

Hamiltonian systems

Mathematics

Ergodic theory

Dynamic systems

Résumé

Nous étudions l’indice de Maslov asymptotique pour de difféomorphismes de surface. En mots, cette quantité est la limite de la vitesse angulaire moyenne des vecteurs tangents qui évoluent sous l’action de la différentielle du difféomorphisme. Pour des applications déviant la verticale de l’anneau, nous montrons que l’ensemble des points d’indice zéro a une dimension d’Hausdorff supérieure ou égale à 1. Dans le cadre des applications déviant la verticale conservatives, nous prouvons que chaque région d’instabilité bornée a un ensemble de mesure de Lebesgue positive de points d’indice non nul. Finalement, nous étudions cet indice en présence de points périodiques hyperboliques avec intersections homoclines transverses, en donnant des exemples de points auxquels l’indice de Maslov asymptotique n’existe pas.

We study the asymptotic Maslov index for surface diffeomorphisms. Roughly speaking,this quantity is the limit of the average rotational velocity of tangent vectors which evolveunder the action of the differential of the diffeomorphism. For twist maps on the annulus,we prove that the set of points of zero index has Hausdorff dimension at least one. In theframework of conservative twist maps, we show that every bounded instability region has apositive Lebesgue measure set of points with non zero index. Finally, we study such indexin the presence of periodic hyperbolic points with transverse homoclinic intersections,providing examples of points at which the asymptotic Maslov index does not exist.