Deformation groupoids and applications

Groupoïdes de déformations et applications

• Auteur / Autrice : Omar Mohsen
• Direction : Georges Skandalis
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Géométrie non commutative
• Date : Soutenance le 04/10/2018
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : Alain Connes
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Georges Skandalis, Alain Connes, Pierre Julg, Nigel Higson, Étienne Ghys, Claude Viterbo, Jean-Michel Bismut, Claire Debord
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Pierre Julg, Nigel Higson

Mots clés

Mots clés contrôlés

KK-théorie

Groupoïdes de Lie

Géométrie différentielle non commutative

Mots clés libres

Déformation au cone normal

Déformation de Witten

Fonctions de Morse

Calcul pseudo-différentiel inhomogène

Invariants de Chern-Simons

Lie groupoids

Deformation to normal cone

Witten deformation

Morse functions

Inhomogeneous pseudo-differential calculus

KK-theory

Chern-Simons invariants

Résumé

Cette thèse est consacrée à l’étude de trois questions différentes concernant les groupoïdes de Lie et leurs applications. Le premier chapitre présente quelques préliminaires sur les groupoïdes de Lie. Dans le chapitre 2, on exprime la déformation de Witten à l’aide d’une déformation au cone normal et la théorie de C∗-modules ce qui nous permet de retrouver les inégalités de Morse. Notre méthode se généralise au cas des feuilletages. Dans le chapitre 3, on donne une construction simple du groupoïde de déformation construit par Choi-Pönge et Van Erp-Yuncken. Rappelons que celui-ci décrit le calcule pseudo-différentiel inhomogène grâce au travail de Debord-Skandalis et Van Erp- Yuncken. Notre construction montre que le groupoïde de déformation est en fait une déformation au cone normal classique itérée. Dans le chapitre 4, suivant le travail de Antonini, Azzali et Skandalis, on construit un élément en KK-théorie équivariante qui permet d’exprimer directement les invariants de Chern-Simons en K-théorie. Dans l’appendice on donne quelques rappels sur la KK-théorie équivariante et la KK-théorie réelle introduite par Antonini, Azzali et Skandalis.

This thesis is devoted to the study of three different questions concerning Lie groupoids and their applications. The first chapter presents some preliminaries on Lie groupoids. In Chapter 2, Witten’s deformation is expressed using deformation to the normal cone construction and the theory of C∗-modules, which allows us to reprove the Morse inequalities. Our method is generalised to the case of foliations. In Chapter 3, we give a simple construction of the deformation groupoid built by Choi-Pönge and Van Erp-Yuncken. Recall that this groupoid describes the inhomogeneous pseudo-differential calculus thanks to the work of Debord-Skandalis and Van Erp-Yuncken. Our construction shows that the deformation groupoid is actually an iterated classical deformation to the normal cone. In Chapter 4, following the work of Antonini, Azzali and Skandalis, we construct an element in equivariant KK-theory that allows us to express the Chern-Simons invariants directly in K-theory. In the appendix we give some reminders about the equivariant KK-theory and the real KK-theory introduced by Antonini, Azzali and Skandalis.