Géométrie de la projectivisation des idéaux et applications aux problèmes de birationalité

par Rémi Bignalet-Cazalet

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Daniele Faenzi et de Adrien Dubouloz.

Le président du jury était Lucy Moser-Jauslin.

Le jury était composé de Laurent Busé, Julie Déserti, Ronan Terpereau.

Les rapporteurs étaient Francesco Russo, Laurent Manivel.


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous interprétons géométriquement la torsion de l'algèbre symétrique d'un faisceau d'idéaux I_Z d'un schéma Z défini par n+1 équations dans une variété n-dimensionnelle. Ceci revient à étudier la géométrie de la projectivisation de I_Z. Les applications de ce point de vue concernent en particulier le domaine des transformations birationnelles de l'espace projectif de dimension 3 au sujet duquel nous construisons des transformations birationnelles explicites qui ont le même degré algébrique que leur inverse, le domaine des courbes libres et presque-libres au sujet duquel nous généralisons une caractérisation des courbes libres en étendant les notions de nombre de Milnor et de nombre de Tjurina. Nous abordons aussi le sujet des hypersurfaces homaloides, notre motivation initiale, au sujet duquel nous exhibons en particulier une courbe homaloide de degré 5 en caractéristique 3. La dernière application concerne le calcul de l'inverse d'une transformation birationnelle.

  • Titre traduit

    Geometry of the projectivization of ideals and applications to problems of birationality


  • Résumé

    In this thesis, we interpret geometrically the torsion of the symmetric algebra of the ideal sheaf I_Z of a scheme Z defined by n+1 equations in an n-dimensional variety. This is equivalent to study the geometry of the projectivization of I_Z. The applications of this point of view concern, in particular, the topic of birational maps of the projective space of dimension 3 for which we construct explicit birational maps that have the same algebraic degree as their inverse, free and nearly-free curves for which we generalise a characterization of free curves by extending the notion of Milnor and Tjurina numbers. We tackle also the topic of homaloidal hypersurfaces, our original motivation, for which we produce in particular a homaloidal curve of degree 5 in characteristic 3. The last application concerns the computation of the inverse of a birational map.


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Informations

  • Sous le titre : Géométrie de la projectivisation des idéaux et applications aux problèmes de birationalité
  • Détails : 1 vol. (143 p.)
  • Annexes : Bibliographie p.141-143
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