Decoupled mild solutions of deterministic evolution problemswith singular or path-dependent coefficients, represented by backward SDEs

par Adrien Barrasso

Thèse de doctorat en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Francesco Russo et de Andrea Cosso.

Soutenue le 17-09-2018

à l'Université Paris-Saclay (ComUE) , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....) , en partenariat avec École nationale supérieure de techniques avancées (Palaiseau, Essonne ; 1970-....) (laboratoire) , École nationale supérieure de techniques avancées (Palaiseau, Essonne ; 1970-....) (établissement opérateur d'inscription) et de Unité de Mathématiques pures et Appliquées (laboratoire) .

Le président du jury était François Delarue.

Le jury était composé de Francesco Russo, Andrea Cosso, Nizar Touzi, Pierre Cardaliaguet.

Les rapporteurs étaient Marie-Claire Quenez, Zhongmin Qian.

mots clés

• EDS rétrogrades dirigées par des martingales cadlag
• Équations aux dérivées partielles semilinéaires
• Équations intégro-dfférentielles aux dérivées partielles
• EDS et EDP à drift distributionnel
• Calcul stochastique et EDP dépendant de la trajectoire
• Équations différentielles
• Équations aux dérivées partielles
• Équations intégrales

Titre traduit

Solutions mild découplées de problèmes d'évolution déterministes à coefficients singuliers ou dépendants de la trajectoire et leur représentation par des EDS rétrogrades

Résumé

Cette thèse introduit une nouvelle notion de solution pour des équationsd'évolution non-linéaires déterministes, appellées solutionsmild découplées.Nous revisitons les liens entre équations différentielles rétrogrades(EDSRs) markoviennes browniennes et EDPsparaboliques semilinéaires en montrant que, sous de très faibles hypothèses,les EDSRs produisent une unique solution mild découplée d'une EDP.Nous étendons ce résultat à de nombreuses autres équations déterministestelles que des Pseudo-EDPs, des Equations Intégrales aux Dérivées Partielles(EIDPs), des EDPs à drift distributionnel, ou des E(I)DPs à dépendancetrajectorielle. Les solutions de ces équations sont représentées via des EDSRs qui peuvent être sans martingale de référence, ou dirigées par des martingales cadlag. En particulier, cette thèse résout le problème d'identification,qui consiste, dans le cas classique d'une EDSR markovienne brownienne, à donner un sens analytique au processus Z, second membre de la solution (Y,Z) de l'EDSR. Dans la littérature, Y détermine en général une solution de viscosité de l'équation déterministe et ce problème d'identification n'est résolu que quand cette solution de viscosité a un minimum de régularité. Notre méthode permet de résoudre ce problème même dans le cas général d'EDSRs à sauts (non nécéssairement markoviennes).

mots clés

• BSDEs driven by cadlag martingales
• Semilinear partial differential equations
• Integro-Partial differential equations
• SDEs and PDEs with distributional drift
• Path-Dependent stochastic calculus and PDEs

Résumé

This thesis introduces a new notion of solution for deterministic non-linear evolution equations, called decoupled mild solution.We revisit the links between Markovian Brownian Backward stochastic differential equations (BSDEs) and parabolic semilinear PDEs showing that under very mild assumptions, the BSDEs produce a unique decoupled mild solution of some PDE.We extend this result to many other deterministic equations such asPseudo-PDEs, Integro-PDEs, PDEs with distributional drift or path-dependent(I)PDEs. The solutions of those equations are represented throughBSDEs which may either be without driving martingale, or drivenby cadlag martingales. In particular this thesis solves the so calledidentification problem, which consists, in the case of classical Markovian Brownian BSDEs, to give an analytical meaning to the second component Z ofthe solution (Y,Z) of the BSDE. In the literature, Y generally determinesa so called viscosity solution and the identification problem is only solved when this viscosity solution has a minimal regularity.Our method allows to treat this problem even in the case of general (even non-Markovian) BSDEs with jumps.