Simulation numérique d'écoulements compressibles complexes par des méthodes de type Lagrange-projection : applications aux équations de Saint-Venant

Numerical simulation of complex compressible flows by Lagrange-projection type methods : applications to shallow water equations

• Auteur / Autrice : Maxime Stauffert
• Direction : Christophe Chalons, Samuel Kokh
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 05/10/2018
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Versailles - Laboratoire de Mathématiques de Versailles
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines (1991-....)
• Jury : Président / Présidente : Raphaël Loubère
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christophe Chalons, Samuel Kokh, Raphaël Loubère, Christophe Berthon, Stéphane Clain, Anaïs Crestetto, Marie Hélène Vignal, Pascal Tremblin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christophe Berthon, Stéphane Clain

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mach, Ernst (1838-1916)

Lagrange, Joseph-Louis (1736-1813 ; mathématicien)

Méthodologie

Barré de Saint-Venant, Adhémar-Jean-Claude (1797-1886)

Galerkine, Méthodes de

Volumes finis, Méthodes de

Équations différentielles hyperboliques -- Solutions numériques

Écoulement permanent

Dynamique des fluides

Mots clés libres

Équations de Saint-Venant

Décomposition de type Lagrange-Projection

Schéma numérique implicite-Explicite

Grands pas de temps

Bas nombre de Froude

Propriété équilibre

Shallow water equations

Lagrange-Projection type splitting

Implicit-Explicit numerical scheme

Large time step

Low Froude

Well-Balanced property

Résumé

On étudie dans le cadre de la thèse une famille de schémas numériques permettant de résoudre les équations de Saint-Venant. Ces schémas utilisent une décomposition d'opérateur de type Lagrange-projection afin de séparer les ondes de gravité et les ondes de transport. Un traitement implicite du système acoustique (relié aux ondes de gravité) permet aux schémas de rester stable avec de grands pas de temps. La correction des flux de pression rend possible l'obtention d'une solution approchée précise quel que soit le régime d'écoulement vis-à-vis du nombre de Froude. Une attention toute particulière est portée sur le traitement du terme source qui permet la prise en compte de l'influence de la topographie. On obtient notamment la propriété dite équilibre permettant de conserver exactement certains états stationnaires, appelés état du "lac au repos". Des versions 1D et 2D sur maillages non-structurés de ces méthodes ont été étudiées et implémentées dans un cadre volumes finis. Enfin, une extension vers des méthodes ordres élevés Galerkin discontinue a été proposée en 1D avec des limiteurs classiques ainsi que combinée avec une boucle MOOD de limitation a posteriori.

In this thesis we study a family of numerical schemes solving the shallow water equations system. These schemes use a Lagrange-projection like splitting operator technique in order to separate the gravity waves and the transport waves. An implicit-explicit treatment of the acoustic system (linked to the gravity waves) allows the schemes to stay stable with large time step. The correction of the pressure fluxes enables the obtain of a precise approximation solution whatever the regime flow is with respect to the Froude number. A particular attention has been paid over the source term treatment which permits to take the topography into account. We especially obtain the so-called well-balanced property giving the exact conservation of some steady states, namely the "lake at rest" state. 1D and 2D versions of this methods have been studied and implemented in the finite volumes framework. Finally, a high order discontinuous Galerkin extension has been proposed in 1D with classical limiters along with a combined MOOD loop a posteriori limiting strategy.