Inégalités fonctionnelles et propriétés spectrales des espaces métriques mesurés à courbure minorée

Some functional inequalities and spectral properties of metric measure spaces with curvature bounded below

• Auteur / Autrice : David Tewodrose
• Direction : Thierry Coulhon, Luigi Ambrosio
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Soutenance le 13/12/2018
• Etablissement(s) : Paris Sciences et Lettres (ComUE) en cotutelle avec Scuola normale superiore (Pise, Italie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : École normale supérieure (Paris ; 1985-....). Département de mathématiques et applications (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : Établissement de préparation de la thèse : École normale supérieure (Paris ; 1985-....)
• Jury : Président / Présidente : Stéphane Sabourau
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Thierry Coulhon, Luigi Ambrosio, Stéphane Sabourau, Shin-ichi Ohta, Nathaël Gozlan, Gabriel Peyré, Ilaria Mondello, Gilles Courtois
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Shin-ichi Ohta, Nicola Gigli

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mathématiques

Mots clés libres

Espaces métriques mesurés

Noyau de la chaleur

Inégalités fonctionnelles

Théorie spectrale

Loi de Weyl

Metric measure spaces

Heat kernel

Functional inequalities

Spectral theory

Weyl's law

Résumé

L’objectif de la thèse est de présenter de nouveaux résultats d’analyse sur les espaces métriques mesurés. Nous étendons d’abord à une certaine classe d’espaces avec doublement et Poincaré des inégalités de Sobolev pondérées introduites par V. Minerbe en 2009 dans le cadre des variétés riemanniennes à courbure de Ricci positives. Dans le contexte des espaces RCD(0,N), nous en déduisons une inégalité de Nash pondérée et un contrôle uniforme du noyau de la chaleur pondéré associé. Puis nous démontrons la loi de Weyl sur les espaces RCD(K,N) compactes à l’aide d’un théorème de convergence ponctuelle des noyaux de la chaleur associés à une suite mGH-convergente d’espaces RCD(K,N). Enfin nous abordons dans le contexte RCD(K,N) un théorème de Bérard, Besson et Gallot fournissant, à l’aide du noyau de la chaleur, une famille de plongements asymptotiquement isométriques d’une variété riemannienne fermée dans l’espace de ses fonctions de carré intégrable. Nous introduisons notamment les notions de métrique RCD, de métrique pull-back, et de convergence faible/forte de métriques RCD sur un espace RCD(K,N) compacte, et nous prouvons un résultat de convergence analogue à celui de Bérard, Besson et Gallot.

The aim of this thesis is to present new results in the analysis of metric measure spaces. We first extend to a certain class of spaces with doubling and Poincaré some weighted Sobolev inequalities introduced by V. Minerbe in 2009 in the context of Riemannian manifolds with non-negative Ricci curvature. In the context of RCD(0,N) spaces, we deduce a weighted Nash inequality and a uniform control of the associated weighted heat kernel. Then we prove Weyl’s law for compact RCD(K,N) spaces thanks to a pointwise convergence theorem for the heat kernels associated with a mGH-convergent sequence of RCD(K,N) spaces. Finally we address in the RCD(K,N) context a theorem from Bérard, Besson and Gallot which provides, by means of the heat kernel, an asymptotically isometric family of embeddings for a closed Riemannian manifold into its space of square integrable functions. We notably introduce the notions of RCD metrics, pull-back metrics, weak/strong convergence of RCD metrics, and we prove a convergence theorem analog to the one of Bérard, Besson and Gallot.