Invariance stochastique et équations stochastiques de Volterra

Stochastic Invariance and Stochastic Volterra Equations

• Auteur / Autrice : Eduardo Abi Jaber
• Direction : Bruno Bouchard-Denize, Jean-David Fermanian
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 18/10/2018
• Etablissement(s) : Paris Sciences et Lettres (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation de la thèse : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Partenaire(s) de recherche : Entreprise : Axa Investment managers
• Jury : Président / Présidente : Nizar Touzi
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bruno Bouchard-Denize, Jean-David Fermanian, Nizar Touzi, Antoine Jacquier, Peter Tankov, Josef Teichmann, Aurélien Alfonsi, Matthieu Rosenbaum, Sergio Pulido, Martin Larsson
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Antoine Jacquier, Peter Tankov, Josef Teichmann

Mots clés

Mots clés contrôlés

Convolutions (mathématiques)

Volatilité (finances)

Processus stochastiques

Mots clés libres

Processus affines

Invariance stochastique

Equations de convolutions stochastiques

Volatilité rugueuse

Affine processes

Stochastic invariance

Stochastic convolution equations

Rough volatility

Résumé

La présente thèse traite de la théorie des équations stochastiques en dimension finie. Dans la première partie, nous dérivons des conditions géométriques nécessaires et suffisantes sur les coefficients d’une équation différentielle stochastique pour l’existence d’une solution contrainte à rester dans un domaine fermé, sous de faibles conditions de régularité sur les coefficients.Dans la seconde partie, nous abordons des problèmes d’existence et d’unicité d’équations de Volterra stochastiques de type convolutif. Ces équations sont en général non-Markoviennes. Nous établissons leur correspondance avec des équations en dimension infinie ce qui nous permet de les approximer par des équations différentielles stochastiques Markoviennes en dimension finie.Enfin, nous illustrons nos résultats par une application en finance mathématique, à savoir la modélisation de la volatilité rugueuse. En particulier, nous proposons un modèle à volatilité stochastique assurant un bon compromis entre flexibilité et tractabilité.

The present thesis deals with the theory of finite dimensional stochastic equations.In the first part, we derive necessary and sufficient geometric conditions on the coefficients of a stochastic differential equation for the existence of a constrained solution, under weak regularity on the coefficients. In the second part, we tackle existence and uniqueness problems of stochastic Volterra equations of convolution type. These equations are in general non-Markovian. We establish their correspondence with infinite dimensional equations which allows us to approximate them by finite dimensional stochastic differential equations of Markovian type. Finally, we illustrate our findings with an application to mathematical finance, namely rough volatility modeling. We design a stochastic volatility model with an appealing trade-off between flexibility and tractability.