L'équation de Dirac en physique du solide et en optique non-lineaire

Résumé

Ces dernières années, de nouveaux matériaux bidimensionnels aux propriétés surprenantes ont été découverts, le plus connu étant le graphène. Dans ces matériaux, les électrons du niveau de Fermi ont une masse apparente nulle, et peuvent être décrits par l’équation de Dirac sans masse. Un tel phénomène apparaît dans des situations très générales, pour les matériaux bidimensionnels ayant une structure périodique en « nid d’abeille ». De plus, la prise en compte d’interactions mène à des équations de Dirac non linéaires. Ces équations apparaissent également dans l’étude des paquets d’ondes lumineuses dans certaines fibres optiques. Le but de cette thèse est d’étudier l’existence et la stabilité de solutions stationnaires de ces équations avec termes non linéaires sous-critiques et critiques, et de montrer qu’ils sont la limite de solutions stationnaires de l’équation de Schrödinger non linéaire à potentiel périodique dans certains régimes de paramètres. Du point de vue mathématique, on devra résoudre les équations d’Euler-Lagrange de fonctionnelles d'énergie fortement indéfinies faisant intervenir l’opérateur de Dirac. Il s’agira en particulier d’étudier le cas des non-linéarités avec exposant critique, encore mal comprises pour ce type de fonctionnelle, et qui apparaissent naturellement en optique non linéaire. Les résultats de cette thèse pourraient avoir un impact important en physique, en particulier en physique du solide et optique non linéaire.

mots clés

Titre traduit

The Dirac equation in solid state physics and non-linear optics
Résumé

Recently, new two-dimensional materials possessing unique properties have been discovered, the most famous being the graphene. In this materials, electrons at the Fermi level behave as massless particles and can be described by the massless Dirac equation. This phenomenon is quite general, and it is a common features of "honeycomb" periodic structures. Moreover, taking into account interaction leads to non-linear Dirac equations, which also appear in the description of light propagation in particular waveguides. The aim of the thesis is to study existence and stability of stationary solutions for those equations with both sub-critical and critical nonlinearities, and to show that they are limit of stationary solutions to the Schroedinger equation with honeycomb potential, for a suitable choice of parameters. This amounts to solving the Euler-Lagrange equation for strongly indefinite energy functionals, involving the Dirac operator. We will deal with critical nonlinearities, which are still poorly understood, and appear naturally in non-linear optics. This results may have an impact on the understanding some solid state or nonlinear optics systems.