Analyse locale de l’équation de Loewner
Auteur / Autrice : | Henshui Zhang |
Direction : | Michel Zinsmeister |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance le 13/12/2018 |
Etablissement(s) : | Orléans |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Institut Denis Poisson (Orléans, Tours ; 2018-....) |
Jury : | Président / Présidente : Jin Lu |
Examinateurs / Examinatrices : Michel Zinsmeister, Jin Lu, Yuefei Wang, Weiyuan Qiu, Weixao Shen, Dejun Feng, Pierre Nolin | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Joan Lind, Yuefei Wang |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Mots clés libres
Résumé
Dans cette thèse nous étudions le problème de la génération d’une courbe par l’équation de Loewner generalisée. Nous utilisons une transformation locale dans l’équation chordal de Loewner, analysons la solution de l’équation de Loewner, et obtenons trois résultats.En premier lieu, nous analysons la limite supérieure et la limite inférieure de l’ordre 1/2 à gauche de la fonction pilotant l’équation, nous prouvons ensuite un lemme basique qui assure que la courbe générée ne s’auto-intersecte pas localement. Ce lemme nous conduit à trois conclusions. Premièrement Lind a prouvé que lorsque la normeHölder-1/2 est inférieure à 4, alors l’équation de Loewner est générée par une courbe simple. Nous nous intéressons au cas où la norme Hölder-1/2 est supérieure à 4, et donnons une condition suffisante pour que la courbe générée soit simple. Deuxièmement, la limite inférieure de l’ordre 1/2 du mouvement brownien tend vers 0 localement, nous donnons un estimé de la vitesse à laquelle il tend vers 0. Troisièmement, nous prouvons que pour la fonction de Weierstrass d’ordre 1/2 dont le coefficient est inférieur à une certaine constante, l’équation de Loewner correspondante est générée par une courbe simple.Dans la deuxième partie, nous définissons l’équation de Loewner imaginaire et son équation duale, et nous procédons à la transformation locale de ces deux équations. Après analyse de leurs propriétés d’annulation,nous construisons le lien entre ces dernières et le problème de génération de courbe. Nous donnons ensuite une conditions suffisante pour que l’équation de Loewner soit localement générée par une courbe.Finalement, nous définissons et nous intéressons au cas où la fonction pilotant l’équation est auto-similaire à gauche, et utilisons des connaissances en dynamique complexe pour prouver que si elle est localement générée par une courbe dans le demi-plan supérieur, alors elle est entièrement générée par une courbe.