Nouveaux invariants en géométrie CR et de contact

New invariants in CR and contact geometry

• Auteur / Autrice : Gautier Dietrich
• Direction : Marc Herzlich
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et modélisation
• Date : Soutenance le 19/10/2018
• Etablissement(s) : Montpellier
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (Montpellier ; 2003-....)
• Jury : Président / Présidente : Olivier Biquard
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marc Herzlich, Olivier Biquard, Colin Guillarmou, Jih-Hsin Cheng, Emmanuel Humbert, Constantin Vernicos
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Colin Guillarmou, Jih-Hsin Cheng

Mots clés

Mots clés contrôlés

Cauchy-Riemann, Équations de

Mots clés libres

Géométrie CR

Opérateur de Paneitz

Invariant de Yamabe

CR geometry

Paneitz operator

Yamabe invariant

Résumé

La géométrie de Cauchy-Riemann, CR en abrégé, est la géométrie naturelle des hypersurfaces réelles pseudoconvexes de C^{n+1}, lorsque n≥1. Nous considérons le cas générique où les variétés CR considérées sont de contact. La géométrie CR présente de nombreuses similarités avec la géométrie conforme ; les invariants mis au jour et les techniques éprouvées en géométrie conforme peuvent donc être adaptées dans ce contexte. Nous nous intéressons dans cette thèse à deux invariants de ce type. Dans une première partie, en utilisant la géométrie asymptotiquement hyperbolique complexe, nous introduisons un opérateur différentiel CR covariant agissant sur les applications allant d'une variété CR vers une variété riemannienne, égal pour les fonctions à l'opérateur de Paneitz CR. Dans une seconde partie, nous proposons un invariant de Yamabe pour les variétés de contact admettant une structure CR, et nous étudions son comportement sous somme connexe.

Cauchy-Riemann geometry, CR for short, is the natural geometry of real pseudoconvex hypersurfaces of C^{n+1} for n≥1. We consider the generic case when CR manifolds are contact manifolds. CR geometry presents strong analogies with conformal geometry; hence, known invariants and techniques of conformal geometry can be transported to that context. We focus in this thesis on two such invariants. In a first part, using asymptotically complex hyperbolic geometry, we introduce a CR covariant differential operator on maps from a CR manifold to a Riemannian manifold, which coincides on functions with the CR Paneitz operator. In a second part, we propose a Yamabe invariant for contact manifolds which admit a CR structure, and we study its behaviour under connected sum.