Energy-momentum conserving time-stepping algorithms for nonlinear dynamics of planar and spatial euler-bernoulli/timoshenko beams

par Sophy Chhang

Thèse de doctorat en Génie Civil

Sous la direction de Mohammed Hjiaj et de Jean-Marc Battini.

Soutenue le 11-12-2018

à Rennes, INSA en cotutelle avec Kungliga tekniska högskolan (Stockholm) , dans le cadre de Ecole doctorale Sciences pour l'ingénieur (Rennes) , en partenariat avec LGCGM (laboratoire) .

Le président du jury était Salima Bouvier.

Le jury était composé de Salima Bouvier, Reijo Kouhia, Olivier Brüls, Anas Batou, Géry de Saxcé, Frédéric Boyer, Jean-Marc Battini.

Les rapporteurs étaient Reijo Kouhia, Olivier Brüls, Anas Batou.

  • Titre traduit

    Algorithmes d’intégration conservatifs de l’analyse dynamique non-linéaire des poutres planes et spatiales d'Euler-Bernoulli/Timoshenko


  • Résumé

    Dans la première partie de la thèse, les schémas d’intégration conservatifs sont appliqués aux poutres co-rotationnelles 2D. Les cinématiques d'Euler-Bernoulli et de Timoshenko sont abordées. Ces formulations produisent des expressions de l'énergie interne et l'énergie cinétique complexe et fortement non-linéaires. L’idée centrale de l’algorithme consiste à définir, par intégration, le champ des déformations en fin de pas à partir du champ de vitesses de déformations et non à partir du champ des déplacements au travers de la relation déplacement-déformation. La même technique est appliquée aux termes d’inerties. Ensuite, une poutre co-rotationnelle plane avec rotules généralisées élasto-(visco)-plastiques aux extrémités est développée et comparée au modèle fibre avec le même comportement pour des problèmes d'impact. Des exemples numériques montrent que les effets de la vitesse de déformation influencent sensiblement la réponse de la structure. Dans la seconde partie de cette thèse, une théorie de poutre spatiale d’Euler-Bernoulli géométriquement exacte est développée. Le principal défi dans la construction d’une telle théorie réside dans le fait qu’il n’existe aucun moyen naturel de définir un trièdre orthonormé dans la configuration déformée. Une nouvelle méthodologie permettant de définir ce trièdre et par conséquent de développer une théorie de poutre spatiale en incorporant l'hypothèse d'Euler- Bernoulli est fournie. Cette approche utilise le processus d'orthogonalisation de Gram-Schmidt couplé avec un paramètre rotation qui complète la description cinématique et décrit la rotation associée à la torsion. Ce processus permet de surmonter le caractère non-unique de la procédure de Gram-Schmidt. La formulation est étendue au cas dynamique et un schéma intégration temporelle conservant l'énergie est également développé. De nombreux exemples démontrent l’efficacité de cette formulation.


  • Résumé

    In the first part of the thesis, energymomentum conserving algorithms are designed for planar co-rotational beams. Both Euler-Bernoulli and Timoshenko kinematics are addressed. These formulations provide us with highly complex nonlinear expressions for the internal energy as well as for the kinetic energy which involve second derivatives of the displacement field. The main idea of the algorithm is to circumvent the complexities of the geometric non-linearities by resorting to strain velocities to provide, by means of integration, the expressions for the strain measures themselves. Similarly, the same strategy is applied to the highly nonlinear inertia terms. Next, 2D elasto-(visco)-plastic fiber co-rotational beams element and a planar co-rotational beam with generalized elasto-(visco)-plastic hinges at beam ends have been developed and compared against each other for impact problems. In the second part of this thesis, a geometrically exact 3D Euler-Bernoulli beam theory is developed.The main challenge in defining a three-dimensional Euler-Bernoulli beam theory lies in the fact that there is no natural way of defining a base system at the deformed configuration. A novel methodology to do so leading to the development of a spatial rod formulation which incorporates the Euler-Bernoulli assumption is provided. The approach makes use of Gram-Schmidt orthogonalisation process coupled to a one-parametric rotation to complete the description of the torsional cross sectional rotation and overcomes the non-uniqueness of the Gram-Schmidt procedure. Furthermore, the formulation is extended to the dynamical case and a stable, energy conserving time-stepping algorithm is developed as well. Many examples confirm the power of the formulation and the integration method presented.


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