Rapidly converging boundary integral equation solvers in computational electromagnetics

par Simon Adrian

Thèse de doctorat en Télécommunications

Sous la direction de Francesco Paolo Andriulli.

Le président du jury était Romanus Dyczij-Edlinger.

Le jury était composé de Francesco Paolo Andriulli, Ralf Hiptmair, Thomas Eibert.

Les rapporteurs étaient Romanus Dyczij-Edlinger, Ralf Hiptmair.

  • Titre traduit

    Solveurs à convergence rapide pour équations intégrales aux élément de frontière en électromagnétisme computationnel


  • Résumé

    L'équation intégrale du champ électrique (EFIE) et l'équation intégrale du champ combiné (CFIE) souffrent d'un mauvais conditionnement à haute discrétisation et à bassefréquence : si la taille moyenne des arrêtes du maillage est réduite ou si la fréquence est diminuée le conditionnement du système se dégrade rapidement. Cela provoque le ralentissement ou la non convergence des solveurs itératifs. Cette dissertation présente de nouveaux paradigmes permettant l'obtention de solveurs à convergence rapide pour équations intégrales; pour prévenir la dégradation du conditionnement nous avançons l'état de l'art des techniques de préconditionnement dites de Calderon et de celles reposant sur l'utilisation des bases hiérarchiques. Pour traiter l'EFIE, nous introduisons une base hiérarchique pour maillages structurés et non-structurés dérivant des pré-ondelettes primaires et duales de Haar. De plus, nous introduisons un nouveau cadre permettant de préconditionner efficacement l'EFIE dans le cas d'objets à connexion multiples. L'applicabilité à la CFIE des préconditionneurs à bases hiérarchiques fait l'objet d'une étude aboutissant à la formalisation d'une technique de préconditionnement. Nous présentons aussi un préconditionneur multiplicatif de type Calderon (RF-CMP) qui permet l'obtention d'une matrice système Hermitienne, définie positive (HDP) et bien conditionnée, sans avoir recours, contrairement aux préconditionneurs existants, au raffinement du maillage ni à l'utilisation de fonction duales. Puisque la matrice est HPD, la méthode du gradient conjugué peut servir de solveur itératif avec une convergence garantie.


  • Résumé

    The electric field integral equation (EFIE) and the combined field integral equation(CFIE) suffer from the dense-discretization and the low-frequency breakdown: if the average edgelength of the mesh is reduced, or if the frequency is decreased, then the condition number of the system matrix grows. This leads to slowly or non-converging iterative solvers. This dissertation presents new paradigms for rapidly converging integral equation solvers: to overcome the illconditioning, we advance and extend the state of the art both in hierarchical basis and in Calderón preconditioning techniques. For the EFIE, we introduce a hierarchical basis for structured and unstructured meshes based on generalized primal and dual Haar prewavelets. Furthermore, a framework is introduced which renders the hierarchical basis able to efficiently precondition the EFIE in the case that the scatterer is multiply connected. The applicability of hierarchical basis preconditioners to the CFIE is analyzed and an efficient preconditioning scheme is derived. In addition, we present a refinement-free Calderón multiplicative preconditioner (RF-CMP) that yields a system matrix which is Hermitian, positive definite (HPD), and well-conditioned. Different from existing Calderón preconditioners, no dual basis functions and thus no refinement of the mesh is required. Since the matrix is HPD—in contrast to standard discretizations of the EFIE—we can apply the conjugate gradient (CG) method as iterative solver, which guarantees convergence. Eventually, the RF-CMP is extended to the CFIE.


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