Analyse de quelques problèmes de conductivité avec changement de signe

Analysis of some conductivity problems with sign changing coefficients

• Auteur / Autrice : Lionel Salesses
• Direction : Brigitte Bidégaray-Fesquet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 19/12/2018
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 199.-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jean Kuntzmann (Grenoble)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Partial differential equation team (Grenoble)
• Jury : Président / Présidente : Laurent Desbat
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Franck Boyer, Grégory Vial, Charles Dapogny
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Franck Boyer, Yannick Privat

Mots clés

Mots clés contrôlés

Permittivité

Ondes électromagnétiques -- Propagation

Perméabilité magnétique

Mots clés libres

Plasmonique

Métamatériaux

Poincaré-Neumann

Conductivité

Plasmonic

Metamaterials

Poincaré-Neumann

Conductivity

Résumé

Dans cette thèse on étudie le comportement des ondes électromagnétiques lorsqu'elles rencontrent un matériau négatif, c'est-à-dire un matériau dont la permittivité électrique et/ou la perméabilité magnétique est négative. On se focalise ici sur le cas où seulement la permittivité change de signe. En dimension deux, les équations de Maxwell en régime harmonique se réduisent à deux sous-problèmes scalaires plus aisés à traiter. L'un de ces sous-problèmes autorise la propagation d'ondes de surface, appelées plasmons de surface, à l'interface entre le matériau négatif et le diélectrique, ce qui le rend particulièrement intéressant pour les applications. On se concentre sur ce sous-problème et en particulier sur sa partie principale qui correspond à une équation de conductivité. Cependant, comme la permittivité change de signe les outils classiques comme le Théorème de Lax-Milgram sont mis en défaut. Dans le premier chapitre, on introduit des outils utiles à la compréhension du reste de la thèse. On décrit en particulier comment l'étude l'équation de conductivité fait naturellement intervenir l'opérateur de Poincaré-Neumann dont le spectre encode les rapports de permittivité qui permettent l'existence des plasmons de surface. On présente une formulation intégrale et une formulation variationnelle de l'opérateur de Poincaré-Neumann et le lien qui existe entre ces deux formulations. Le second chapitre de ce manuscrit s'intéresse au caractère bien posé de l'équation de conductivité lorsque la permittivité change de signe. En utilisant des méthodes d'équations intégrales on propose une condition suffisante pour que ce problème soit bien posé. Dans le troisième chapitre de cette thèse, on se concentre sur le calcul numérique du spectre de l'opérateur de Poincaré-Neumann à l'aide des méthodes d'éléments finis. On s'intéresse à la convergence des valeurs propres calculées numériquement vers les valeurs propres théoriques. Dans le dernier chapitre, on étudie le problème de transmission des ondes électromagnétiques dans une couche métallique de permittivité négative sous l'angle des fonctions de Green. En particulier on s'intéresse au comportement de la fonction de Green pour ce problème lorsque l'épaisseur de la couche métallique tend vers zéro.

In this thesis, we study the behaviour of electromagnetic waves when interacting with a negative material. Such a material has a negative electric permittivity and/or magnetic permeability. Here we only focus on negative permittivity materials. In dimension two, Maxwell's equations in harmonic regime reduce to a couple of scalar, easier to tackle, sub-problems. One of these sub-problems allows surface waves to propagate along the interface between a negative material and a dielectric, which makes it very interesting for the applications. Such surface waves are called surface plasmons. Here, we focus on this sub-problem and more specifically on its main part which is a conductivity equation. Yet, as the permittivity sign changes between the negative material and the dielectric, it is not allowed to use the classical Lax-Milgram framework. In the first chapter, we introduce tools which are useful to understand the rest of this thesis. In particular, we describe how studying conductivity equation leads us to deal with the Poincar{'e}-Neumann operator. The spectrum of this operator encodes permittivity ratios that allow surface plasmons to propagate. We propose both the integral formulation and the variational formulation of this operator, and we explain the link existing in-between. In the second chapter of this thesis, we focus on the well-posedness property of the conductivity equation when permittivity sign changes. Using integral equation methods, we propose a sufficient well-posedness condition for this problem. In the third chapter, we deal with the numerical computation of the Poincaré-Neumann operator spectrum using finite element methods. We are interested in the convergence of numerically computed eigenvalues to the theoretical ones. In the last chapter, we study the electromagnetic wave transmission problem in a metallic layer with a negative permittivity from the Green's function point of view. In particular, we investigate the Green's function behaviour when the metallic layer thickness goes to zero.