Régularité maximale des équations d’évolution non-autonomes

Maximal regularity for non-autonomous evolution equations

• Auteur / Autrice : Mahdi Achache
• Direction : El Maati Ouhabaz
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques pures
• Date : Soutenance le 05/03/2018
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Marius Tucsnak
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bernhard Hermann Haak, Isabelle Chalendar, Sylvie Monniaux
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Ralph Chill, Abdelaziz Rhandi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations d'onde

Équations d'évolution

Mots clés libres

Formes sesquilinéaire

Régularité de Besov

Régularité de Sobolev

Équation des ondes

Régularité maximale

Équation parabolique

Sesquilinear forms

Besov regularity

Sobolev regularity

Wave equation

Maximal regularity

Parabolic equation

Résumé

Cette thèse est dédiée a l’étude de certaines propriétés des équations d’évolutions non-autonomes u0(t) +A(t)u(t) = f(t); u(0) = x: Il s’agit précisément de la propriété de la régularité maximale Lp: étant donnée f 2 Lp(0; T ;H), montrer l’existence et l’unicité de la solution u 2 W1;p(0; T ;H). Ce problème a été intensivement étudié dans le cas autonome, i.e., A(t) = A pour tout t. Dans le cas non-autonome, le problème a été considéré par J.L.Lions en 1960. Nous montrons divers résultats qui étendent tout ce qui est connu sur ce problème. On suppose ici que la famille des opérateurs (A(t))t2[0;T ] est associée à des formes quasi-coercives, non autonomes (a(t))t2[0;T ]: Nous considérons également le problème de régularité maximale pour les équations d’ordre 2 (équations des ondes). Plusieurs exemples et applications sont considérés.

This Thesis is devoted to certain properties of non-autonomous evolution equations u0(t) +A(t)u(t) = f(t); u(0) = x: More precisely, we are interested in the maximal Lp-regularity: given f 2 Lp(0; T ;H); prove existence and uniqueness of the solution u 2 W1;p(0; T ;H). This problem was intensively studied in the autonomous case, i.e., A(t) = A for all t: In the non-autonomous cas, the problem was considered by J.L.Lions in 1960. We prove serval results which extend all previously known ones on this problem. Here we assume that the familly of the operators (A(t))t2[0;T ] is associated with quasi-coercive, non-autonomous forms (a(t))t2[0;T ]: We also consider the problem of maximal regularity for second order equations (the wave equation). Serval examples and applications are given in this Thesis.