Un site arithmétique de type connes-consani pour les corps quadratiques imaginaires de nombre de classes 1

par Aurélien Sagnier

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Éric Leichtnam et de Christopher Deninger.

Soutenue le 11-07-2017

à Sorbonne Paris Cité , dans le cadre de École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....) , en partenariat avec Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....) (équipe de recherche) et de Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019) (établissement de préparation) .

Le président du jury était Alain Connes.

Le jury était composé de Éric Leichtnam, Christopher Deninger, Alain Connes, Caterina Consani, Paul Lescot, Stéphane Gaubert, Georges Skandalis.

Les rapporteurs étaient Caterina Consani, Paul Lescot.

mots clés

• Caractéristique 1
• Max-plus
• Entiers de Gauss
• Topos (mathématiques)
• Fonctions zêta
• Géométrie algébrique arithmétique
• Géométrie différentielle non commutative
• Gauss, Sommes de

Résumé

Nous construisons, pour les corps quadratiques imaginaires avec nombre de classes 1, un site arithmétique de type Connes-Consani. La principale difficulté ici est que les constructions de Connes et Consani et une partie de leurs résultats reposent sur la relation d'ordre naturellement présente sur les nombres réels qui est compatible avec les opérations arithmétiques basiques. Bien sûr rien de la sorte n'existe pas dans le cas des corps quadratiques imaginaires avec nombre de classes 1. Nous définissons ce que nous appelons le site arithmétique pour de tels corps de nombres, puis nous calculons les points de ces sites arithmétiques et nous les exprimons en termes de l'espace des classes d'adèles considéré par Connes pour donner une interprétation spectrale des zéros des fonctions L de Hecke. On obtient alors que pour un corps quadratique imaginaire avec nombre de classes 1, les points de notre site arithmétique sont reliés aux zéros de la fonction zêta de Dedekind du corps de nombres considéré et aux zéros de certaines fonctions L de Hecke. Nous étudions ensuite la relation entre le spectre de l'anneau des entiers du corps de nombres et le site arithmétique. Enfin nous construisons le carré du site arithmétique.

mots clés

• Caracteristic one
• Max-plus
• Gaussian integers

Titre traduit

An arithmetic site of Connes-Consany type for imaginary quadratic fields with class number 1

Résumé

We construct, for imaginary quadratic number fields with class number 1, an arithmetic site of Connes-Consani type. The main difficulty here is that the constructions of Connes and Consani and part of their results strongly rely on the natural order existing on real numbers which is compatible with basic arithmetic operations. Of course nothing of this sort exists in the case of imaginary quadratic number fields with class number 1. We first define what we call arithmetic site for such number fields, we then calculate the points of those arithmetic sites and we express them in terms of the ad\`eles class space considered by Connes to give a spectral interpretation of zeroes of Hecke L functions of number fields. We get therefore that for a fixed imaginary quadratic number field with class number 1, that the points of our arithmetic site are related to the zeroes of the Dedekind zeta function of the number field considered and to the zeroes of some Hecke L functions. We then study the relation between the spectrum of the ring of integers of the number field and the arithmetic site. Finally we construct the square of the arithmetic site.