Thèse soutenue

Systèmes quantiques multi-particulaires et localisation à basses énergies ou à faible interaction.
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Auteur / Autrice : Trésor Ekanga
Direction : Anne Boutet de MonvelViktor Anatolʹevič Čulaevskij
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques
Date : Soutenance le 15/03/2017
Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
établissement de préparation : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)
Jury : Président / Présidente : Nikolai Kitanine
Examinateurs / Examinatrices : Hakim Boumaza
Rapporteurs / Rapporteuses : Konstantin Pankrashkin

Résumé

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Dans cette thèse, on étudie le phénomène de localisation d'Anderson des opérateurs de Schrödinger à N particules qui englobe aussi bien la localisation exponentielle des fonctions propres que la localisation dynamique. Dans un premier temps, on considère le modèle d'Anderson discret multi- particulaire avec un potentiel aléatoire à valeurs indépendantes et identiquement distribuées i.i.d. dont la distribution commune est au moins log-Höldérienne et une interaction de courte portée. On établit pour ce modèle la localisation d'Anderson pour les énergies susamment proches du bas du spectre après avoir montré qu'il est non-aléatoire. D'autre part, on montre que la localisation complète des systèmes mono- particulaires s'étend aux systèmes multi-particulaires ayant une interaction globale susamment faible et pour un désordre arbitraire. Pour ce résultat, l'existence d'une densité bornée de la distribution commune des variables aléatoires i.i.d. est nécessaire et on le montre pour des interactions ayant une forme très générale mais bornées. Les résultats sont démontrés à l'aide de l'adaptation aux systèmes multi- particulaires de l'analyse multi-échelle à énergie variable qui permet de traiter des distributions singulières contrairement à la méthode des moments fractionnaires. Les estimées de Wegner intervenant notamment dans l'analyse multi-échelle sont établies pour des cubes vériant une propriété de séparabilité en utilisant le Lemme de Stollmann. On démontre également l'estimée de Combes-Thomas qui joue un rôle important dans l'analyse des énergies extrêmes.