Bifurcations locales et instabilités dans des modèles issus de l'optique et de la mécanique des fluides

par Cyril Godey

Thèse de doctorat en Mathématiques et applications

Sous la direction de Mariana Haragus.

Soutenue le 06-07-2017

à Bourgogne Franche-Comté , dans le cadre de École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....) , en partenariat avec Université de Franche-Comté (1971-....) (laboratoire) , Université de Franche-Comté (1971-....) (Etablissement de préparation) et de Laboratoire de Mathématiques de Besançon / LMB (laboratoire) .

Le président du jury était Mark David Groves.

Le jury était composé de Mariana Haragus, Mark David Groves, Pascal Noble, Wolfgang Reichel, Eric Lombardi, Simona Rota Nodari.

Les rapporteurs étaient Pascal Noble, Wolfgang Reichel.

mots clés

• Équations aux dérivées partielles non linéaires
• Théorie des bifurcations
• Formes normales
• Équation de Lugiato-Lefever
• Instabilité linéaire
• Ondes hydrodynamiques de surface
• Bifurcation, Théorie de la
• Instabilités hydrodynamiques
• Formes normales (mathématiques)
• Systèmes non linéaires
• Ondes de surface

Résumé

Cette thèse présente quelques contributions à l'étude qualitative de solutions d'équations aux dérivées partielles non linéaires dans des modèles issus de l'optique et de la mécanique des fluides. Nous nous intéressons plus précisément à l'existence de solutions et à leur stabilité temporelle. Le Chapitre 1 est consacré à l'équation de Lugiato-Lefever, qui est une variante de l'équation de Schrödinger non linéaire et qui a été dérivée dans plusieurs contextes en optique. En utilisant des outils de la théorie des bifurcations et des formes normales, nous procédons à une étude systématique des solutions stationnaires de cette équation, et prouvons l'existence de solutions périodiques et localisées. Dans le Chapitre 2, nous présentons un critère simple d'instabilité linéaire pour des ondes non linéaires. Nous appliquons ce résultat aux équations de Lugiato-Lefever, de Kadomtsev-Petviashvili-I et de Davey-Stewartson. Ces deux dernières équations sont des équations modèles dérivées en mécanique des fluides. Dans le Chapitre 3, nous montrons un critère d'instabilité linéaire pour des solutions périodiques de petite amplitude, par rapport à certaines perturbations quasipériodiques. Ce résultat est ensuite appliqué à l'équation de Lugiato-Lefever.

mots clés

• Nonlinear partial differential equations
• Bifurcation theory
• Normal forms
• Lugiato-Lefever equation
• Linear instability
• Water waves

Titre traduit

Local bifurcations and instabilities in models derived from optics and fluid mechanics

Résumé

In this thesis we present several contributions to qualitative study of solutions of nonlinear partial differential equations in optics and fluid mechanics models. More precisely, we focus on the existence of solutions and their stability properties. In Chapter 1, we study the Lugiato-lefever equation, which is a variant of the nonlinear Schrödinger equation arising in sereval contexts in nonlinear optics. Using tools from bifurcation and normal forms theory, we perfom a systematic analysis of stationary solutions of this equation and prove the existence of periodic and localized solutions. In Chapter 2, we present a simple criterion for linear instability of nonlinear waves. We then apply this result to the Lugiato-Lefever equation, to the Kadomtsev-Petviashvili-I equation and the Davey-Stewartson equations. These last two equations are model equations arising in fluid mechanics. In Chapter 3, we prove a criterion for linear instability of periodic solutions with small amplitude, with respect to certain quasiperiodic perturbations. This result is then applied to the Lugiato-Lefever equation.