Théorèmes limites dans l'analyse statistique des systèmes dynamiques

par Mohamed Abdelkader

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Sandro Vaienti.

Soutenue le 30-11-2017

à Toulon en cotutelle avec l'Université de Sfax. Faculté des sciences , dans le cadre de École doctorale Mer et Sciences (Toulon) , en partenariat avec Centre de physique théorique (Marseille) (laboratoire) .

Le président du jury était Serge Troubetzkoy.

Le jury était composé de Sandro Vaienti, Habib Marzougui, Benoît Saussol, Mabrouk Ben Ammar, Mohamed Hbaib.

Les rapporteurs étaient Habib Marzougui, Benoît Saussol.


  • Résumé

    Dans cette thèse nous étudions les théorèmes limites dans l’analyse statistique dessystèmes dynamiques. Le premier chapitre est consacré aux notions des bases des systèmesdynamiques ainsi que la théorie ergodique. Dans le deuxième chapitre nous introduisonsun cadre fonctionnel abstrait pour lequel la version quenched du théorème de la limitecentrale (TLC) en dimension 1 pour les systèmes dynamiques uniformément dilatantsest satisfaite sous une condition de validité nécessaire et suffisante. Le troisième chapitreest consacré au principe d’invariance presque sûr (PIPS) pour les application aléatoiresdilatantes par morceaux. Nous présentons certaines hypothèses sous lesquelles le (PIPS)est vérifié en utilisant la méthode d’approximation des martingales de Cuny et Merlèvede.Nous étudions aussi le théorème de Sprindzuk et ses conséquences. Nous établissons dansle chapitre quatre la décroissance des corrélations pour les systèmes dynamiques aléatoiresuniformément dilatants par la méthode de couplage en dimension 1. Nous terminons cetravail par une présentation des concepts de base de la théorie des mesures et probabilitéset une présentation de l’espace des fonctions à variation bornée.

  • Titre traduit

    Limit theorems in the statistical analysis of dynamical systems


  • Résumé

    In this thesis we study the limit theorems in the statistical analysis of dynamicalsystems. The first chapter is devoted to the basic notions in dynamical systems as well asthe ergodic theory. In the second chapter we introduce an abstract functional frameworkunder which the quenched version of the central limit theorem (CLT) in dimension 1for uniformly expanding dynamic systems is satisfied under a necessary and sufficientcondition validity. The third chapter is devoted to the almost sure invariance principle(ASIP) for random piecewise expanding maps. We present some hypotheses under whichthe (ASIP) is verified using the method of approximation of the martingales of Cuny andMerlèvede. We also study the Sprindzuk theorem and its consequences. In chapter four,we define the decay of correlations for the random dynamical systems uniformly expandingby the coupling method in dimension 1. We finish this work with a presentation of thebasic concepts of the theory of measures and probabilities and a presentation of the spaceof functions with bounded variation.


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