Analyse et contrôle de modèles d'écoulements fluides

Analysis and control of fluid flow models

• Auteur / Autrice : Marc Savel
• Direction : Sylvain Ervedoza, Jean-Pierre Raymond
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 28/06/2017
• Etablissement(s) : Toulouse 3
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Méthodes des frontières immergées

Mécanique des fluides

Navier-Stokes, Équations de

Mots clés libres

Equations de Navier-Stokes

Frontières immergées

Tension de surface

Contrôlabilité locale aux trajectoires

Stabilisation d'interface fluide

Navier-Stokes equations

Immersed boundary

Surface tension

Local controllability to trajectory

Bifluide interface stabilization

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions le caractère bien posé, le contrôle et la stabilisation de quelques modèles d'écoulements fluides. Dans la première partie, on s'intéresse aux équations de Navier-Stokes compressibles 1D. Un résultat de contrôlabilité locale aux trajectoires par contrôle frontière est établi sous l'hypothèse géométrique de vidage du domaine par le flot de la trajectoire cible. La principale nouveauté de ce travail est que les trajectoires cibles peuvent être choisies non constantes. Dans la deuxième partie, nous travaillons sur un modèle de frontière immergée dans un fluide visqueux incompressible en 2D et 3D. Contrairement à la méthode des frontières immergées de Peskin où la force générée par la structure dépend de ses propriétés élastiques et géométriques, nous considérons que la force de la structure est une donnée du système. Nous montrons alors des résultats d'existence locale en temps et en tout temps à données petites de solutions fortes. Ce travail est un premier pas vers l'analyse mathématique de la méthode des frontières immergées de Peskin. Dans la dernière partie, nous étudions la stabilisation d'une interface entre deux couches de fluides visqueux non miscibles soumis à l'effet de tension de surface en 2D et 3D. Nous montrons qu'au moyen d'un contrôle de dimension finie agissant sur une partie de la frontière d'un seul des deux fluides, le système est exponentiellement stabilisable à tout taux de décroissance autour de la configuration plate avec fluides au repos. Ce travail est une première étape dans l'étude de la stabilisation des instabilités de Rayleigh-Taylor.

In this work we study the well-posedness, the control and the stabilization of some fluid flow models. First, we focus on the 1D compressible Navier-Stokes equations. Under a geometric assumption on the flow of the target velocity corresponding to the possibility of emptying the domain under the action of the flow, we prove the local exact boundary controllability to trajectory. The main novelty of this work is that the target trajectory can now depend on time and space. In the second part, we study a model of an immersed boundary in an incompressible viscous fluid in 2D and 3D. Contrary to Peskin's Immersed Boundary Method where the boundary force depends on the elastic properties of the structure and its geometry, we consider that the boundary force is a given data. Two results are established: a local in time existence of strong solutions and an existence of strong solutions for all time with small data. This work is a first step on the mathematical analysis of Peskin's Immersed Boundary Method. Finally, we are interested in the stabilization of the interface between two fluid layers coupled through surface tension effect in 2D and 3D. We prove that the system is exponentially stabilizable at any rate around a flat configuration with fluids at rest using a control of finite dimension acting locally at one fluid boundary. This work is a first step in the study of the stabilization of Rayleigh-Taylor instabilities.