Analyse numérique de systèmes hyperboliques-dispersifs

Numerical analysis of hyperbolic-dispersive systems

• Auteur / Autrice : Clémentine Courtès
• Direction : Frédéric Lagoutière, Frédéric Rousset
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 23/11/2017
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris-Sud (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : Raphaèle Herbin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Frédéric Lagoutière, Frédéric Rousset, Raphaèle Herbin, Claire Chainais-Hillairet, Pascal Noble, Bertrand Maury
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Claire Chainais-Hillairet, Pascal Noble

Mots clés

Mots clés contrôlés

Solitons

Analyse numérique

Calcul d'erreur

Différences finies

Korteweg-de Vries, Équation de

Équations aux dérivées partielles -- Solutions numériques

Mots clés libres

Équations aux dérivées partielles

Équation de Korteweg-De Vries

Différences finies

Estimations d'erreur

Convergence numérique

Ondes progressives

Partial differential equations

Korteweg-De Vries equation

Finite differences

Error estimates

Numerical convergence

Traveling waves

Résumé

Le but de cette thèse est d’étudier certaines équations aux dérivées partielles hyperboliques-dispersives. Une part importante est consacrée à l’analyse numérique et plus particulièrement à la convergence de schémas aux différences finies pour l’équation de Korteweg-de Vries et les systèmes abcd de Boussinesq. L’étude numérique suit les étapes classiques de consistance et de stabilité. Nous transposons au niveau discret la propriété de stabilité fort-faible des lois de conservations hyperboliques. Nous déterminons l’ordre de convergence des schémas et le quantifions en fonction de la régularité de Sobolev de la donnée initiale. Si nécessaire, nous régularisons la donnée initiale afin de toujours assurer les estimations de consistance. Une étape d’optimisation est alors nécessaire entre cette régularisation et l’ordre de convergence du schéma. Une seconde partie est consacrée à l’existence d’ondes progressives pour l’équation de Korteweg de Vries-Kuramoto-Sivashinsky. Par des méthodes classiques de systèmes dynamiques : système augmenté, fonction de Lyapunov, intégrale de Melnikov, par exemple, nous démontrons l’existence d’ondes oscillantes de petite amplitude.

The aim of this thesis is to study some hyperbolic-dispersive partial differential equations. A significant part is devoted to the numerical analysis and more precisely to the convergence of some finite difference schemes for the Korteweg-de Vries equation and abcd systems of Boussinesq. The numerical study follows the classical steps of consistency and stability. The main idea is to transpose at the discrete level the weak-strong stability property for hyperbolic conservation laws. We determine the convergence rate and we quantify it according to the Sobolev regularity of the initial datum. If necessary, we regularize the initial datum for the consistency estimates to be always valid. An optimization step is thus necessary between this regularization and the convergence rate of the scheme. A second part is devoted to the existence of traveling waves for the Korteweg-de Vries-Kuramoto-Sivashinsky equation. By classical methods of dynamical systems : extended systems, Lyapunov function, Melnikov integral, for instance, we prove the existence of oscillating small amplitude traveling waves.