Thèse soutenue

Diagramme de phase, transitions vitreuse et d'encombrement dans le perceptron non-convexe
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Auteur / Autrice : Maxime Sevelev
Direction : Silvio Franz
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Physique
Date : Soutenance le 06/10/2017
Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Physique en Île-de-France (Paris ; 2014-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de physique théorique et modèles statistiques (Orsay, Essonne ; 1998-....)
établissement opérateur d'inscription : Université Paris-Sud (1970-2019)
Jury : Président / Présidente : Christophe Texier
Examinateurs / Examinatrices : Silvio Franz, Christophe Texier, Roberto Mulet, Federico Ricci-Tersenghi, Vivien Lecomte, Marco Tarzia, Véronique Terras
Rapporteurs / Rapporteuses : Roberto Mulet, Federico Ricci-Tersenghi

Résumé

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Cette thèse de doctorat traite du « modèle de perceptron sphérique », un modèle simple et exactement soluble qui présente un comportement visqueux et d'encombrement qui a été généralisé aux valeurs négatives du paramètre de produit scalaire κ. Le problème classique d'apprentissage par machine qui consiste en la classification des motifs aléatoires par le perceptron fait partie des problèmes de satisfaction des contraintes (PSC) convexes. Même quand le « paramètre de stabilité » du modèle κ devient négatif, le problème reste toujours correctement posé et peut être interprété comme le problème de placement des particules sur une sphère N-dimensionnelle en évitant les obstacles placés au hasard. Dans ce cas, le PSC correspondant n'est pas convexe. Cette thèse étudie le problème en détail dans le domaine non convexe. Une étude systématique est rendue possible en faisant correspondre à un problème de satisfaction de contraintes un problème d'optimisation sur le même support, mais doté d'un Hamiltonien (fonction de coût) qui mesure les violations des contraintes en fonction de la configuration du système. Le lien entre le PSC aléatoire et la phénoménologie vitreuse en physique est bien connue et a été explorée en détail pour les modèles à variables discrètes. La présence de variables continues dans le modèle de perceptron (sphérique) nous permet de dévoiler, en PSC aléatoire, la transition caractéristique SAT/UNSAT où le système subit une transition du régime satisfaisable (dans lequel l'état fondamental possède une énergie nulle) à celui insatisfaisable (dans lequel l'état fondamental possède une énergie positive). Cette transition de phase peut également être interprétée comme une transition d'encombrement similaire à celles démontrées par les modèles des sphères sans friction. La simplicité du modèle étudié permet de trouver exactement son diagramme de phase à température zéro en fonction des deux paramètres de contrôle: la densité des obstacles et leur taille. Ainsi identifiée, la transition d'encombrement est complètement caractérisée dans le présent document. Sont également étudiées en détail de diverses phases vitreuses de caractère stable et marginal.