Vitesses de convergence en inférence géométrique

Rates of Convergence for Geometric Inference

• Auteur / Autrice : Eddie Aamari
• Direction : Pascal Massart, Frédéric Chazal
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques aux interfaces
• Date : Soutenance le 01/09/2017
• Etablissement(s) : Université Paris-Saclay (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....) - Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Saclay, Ile-de-France)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris-Sud (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : Stéphane Boucheron
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Pascal Massart, Frédéric Chazal, Stéphane Boucheron, Bruno Pelletier, Wolfgang Polonik, Jean-Daniel Boissonnat
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bruno Pelletier, Wolfgang Polonik

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie différentielle

Statistique mathématique

Statistique non paramétrique

Mots clés libres

Statistiques

Topologie

Analyse de données

Statistics

Topology

Data analysis

Résumé

Certains jeux de données présentent des caractéristiques géométriques et topologiques non triviales qu'il peut être intéressant d'inférer.Cette thèse traite des vitesses non-asymptotiques d'estimation de différentes quantités géométriques associées à une sous-variété M ⊂ RD. Dans chaque cas, on dispose d'un n-échantillon i.i.d. de loi commune P ayant pour support M. On étudie le problème d'estimation de la sous-variété M pour la perte donnée par la distance de Hausdorff, du reach τM, de l'espace tangent TX M et de la seconde forme fondamentale I I MX, pour X ∈ M à la fois déterministe et aléatoire.Les vitesses sont données en fonction la taille n de l'échantillon, de la dimension intrinsèque de M ainsi que de sa régularité.Dans l'analyse, on obtient des résultats de stabilité pour des techniques de reconstruction existantes, une procédure de débruitage ainsi que des résultats sur la géométrie du reach τM. Une extension du lemme d'Assouad est exposée, permettant l'obtention de bornes inférieures minimax dans des cadres singuliers.

Some datasets exhibit non-trivial geometric or topological features that can be interesting to infer.This thesis deals with non-asymptotic rates for various geometric quantities associated with submanifolds M ⊂ RD. In all the settings, we are given an i.i.d. n-sample with common distribution P having support M. We study the optimal rates of estimation of the submanifold M for the loss given by the Hausdorff metric, of the reach τM, of the tangent space TX M and the second fundamental form I I MX, for X ∈ M both deterministic and random.The rates are given in terms of the sample size n, the instrinsic dimension of M, and its smoothness.In the process, we obtain stability results for existing reconstruction techniques, a denoising procedure and results on the geometry of the reach τM. An extension of Assouad's lemma is presented, allowing to derive minimax lower bounds in singular frameworks.