Géométrie complexe globale et infinitésimale de l'espace des twisteurs d'une variété hyperkählérienne

par Basile Pillet

Thèse de doctorat en Mathématiques et applications

Sous la direction de Christophe Mourougane.

Soutenue le 13-06-2017

à Rennes 1 , dans le cadre de MATISSE , en partenariat avec Universite Bretagne Loire (ComuE) et de Institut de recherche mathématique (Rennes) (laboratoire) .


  • Résumé

    L'objet de cette thèse est la construction d'objets géométriques sur une variété C paramétrant des courbes rationnelles dans l'espace des twisteurs d'une variété hyperkählérienne. On établira une correspondance entre la géométrie complexe de l'espace des twisteurs et des propriétés différentielles sur C (opérateurs différentiels et courbure de la structure riemanienne complexe héritée de la variété hyperkählérienne). Les premiers chapitres précisent le cadre et les résultats connus. Dans les chapitres 4, 5 et 6 on établit une équivalence de catégories entre fibrés triviaux en restriction à chaque droite de l'espace des twisteurs et les fibrés à connexion sur C satisfaisant une condition de courbure. Le chapitre 7 prolonge cette correspondance sur le plan cohomologique tandis que le chapitre 8 en fait l'étude infinitésimale en reliant la courbure de la connexion avec les épaississements infinitésimaux des fibrés le long des droites.

  • Titre traduit

    Global and infinitesimal complex geometry of twistor spaces of hyperkähler manifolds


  • Résumé

    The purpose of this thesis is to construct geometric objects on a manifold C parametrizing rational curves in the twistor space of a hyperkähler manifold. We shall establish a correspondence between the complex geometry of the twistor space and some differential properties of C (differential operators and curvature of a complex riemannian structure inherited from the base hyperkähler manifold). The first chapters gather some classical results of the theory of hyperkähler manifolds and their twistor spaces. In the chapters 4, 5 and 6, we construct an equivalence of categories between bundles on the twistor space which are trivial on each line and bundles with a connexion of C satisfying certain curvature conditions. The chapter 7 extends this correspondence on the cohomological level whereas the chapter 8 explores its infinitesimal version ; it links curvature of the connexion with thickening (in the sense of LeBrun) of the bundle along the lines.


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