Transport optimal de mesures positives : modèles, méthodes numériques, applications

par Lénaïc Chizat

Thèse de doctorat en Sciences

Sous la direction de Gabriel Peyré.

Soutenue le 10-11-2017

à Paris Sciences et Lettres (ComUE) , dans le cadre de Ecole doctorale SDOSE (Paris) , en partenariat avec Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) (laboratoire) et de Université Paris Dauphine-PSL (1968-....) (Etablissement de préparation de la thèse) .

Le président du jury était Julie Delon.

Le jury était composé de Julie Delon, Jean-David Benamou, François-Xavier Vialard, Francesco Rossi, Bertrand Maury, Nicolas Papadakis.

Les rapporteurs étaient Giuseppe Savaré, Benedikt Wirth.

mots clés

• Transport optimal
• Analyse convexe
• Optimisation
• Mesures positives
• Géométrie de l'information
• Algorithme de Sinkhorn
• Traitement d'image
• Flots de gradient
• Convergence faible
• Traitement de champs de tenseurs
• Barycentres
• Entropie relative
• Espace métrique géodésique
• Transport optimal de mesure
• Optimisation convexe
• Traitement d'images
• Convergence (mathématiques)
• Entropie
• Géodésiques (mathématiques)

Résumé

L'objet de cette thèse est d'étendre le cadre théorique et les méthodes numériques du transport optimal à des objets plus généraux que des mesures de probabilité. En premier lieu, nous définissons des modèles de transport optimal entre mesures positives suivant deux approches, interpolation et couplage de mesures, dont nous montrons l'équivalence. De ces modèles découle une généralisation des métriques de Wasserstein. Dans une seconde partie, nous développons des méthodes numériques pour résoudre les deux formulations et étudions en particulier une nouvelle famille d'algorithmes de "scaling", s'appliquant à une grande variété de problèmes. La troisième partie contient des illustrations ainsi que l'étude théorique et numérique, d'un flot de gradient de type Hele-Shaw dans l'espace des mesures. Pour les mesures à valeurs matricielles, nous proposons aussi un modèle de transport optimal qui permet un bon arbitrage entre fidélité géométrique et efficacité algorithmique.

mots clés

• Optimal transport
• Convex analysis
• Optimization
• Nonnegative measures
• Information geometry
• Sinkhorn's algorithm
• Image processing
• Gradient flows
• Weak convergence
• Tensor field processing
• Barycentres
• Relative entropy
• Geodesic metric space

Titre traduit

Unbalanced Optimal Transport : Models, Numerical Methods, Applications

Résumé

This thesis generalizes optimal transport beyond the classical "balanced" setting of probability distributions. We define unbalanced optimal transport models between nonnegative measures, based either on the notion of interpolation or the notion of coupling of measures. We show relationships between these approaches. One of the outcomes of this framework is a generalization of the p-Wasserstein metrics. Secondly, we build numerical methods to solve interpolation and coupling-based models. We study, in particular, a new family of scaling algorithms that generalize Sinkhorn's algorithm. The third part deals with applications. It contains a theoretical and numerical study of a Hele-Shaw type gradient flow in the space of nonnegative measures. It also adresses the case of measures taking values in the cone of positive semi-definite matrices, for which we introduce a model that achieves a balance between geometrical accuracy and algorithmic efficiency.