Représentations de groupes fondamentaux en géométrie hyperbolique

par Ruben Dashyan

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Elisha Falbel et de Maxime Wolff.

Soutenue le 09-11-2017

à Paris 6 , dans le cadre de École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....) , en partenariat avec Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....) (laboratoire) .

Le président du jury était Gilles Courtois.

Le jury était composé de Martin Deraux, Bertrand Deroin.

Les rapporteurs étaient Vincent Koziarz.

mots clés

• Représentations de groupes fondamentaux
• Réseaux de groupes de Lie
• Géométrie hyperbolique
• Structures CR sphériques
• Représentations de groupes
• Groupes de Lie
• Géométrie hyperbolique

Résumé

Deux méthodes de construction de représentations de groupes sont présentées. La première propose une stratégie essayant de déterminer les représentations de groupes libres de type fini à valeurs dans tout réseau de groupes de Lie réel. La seconde, après avoir revu une construction d'une surface hyperbolique complexe, c'est-à-dire le quotient du plan hyperbolique complexe par un réseau, et examiné soigneusement ses propriétés, produit une infinité de représentations non-conjuguées, à valeurs dans un réseau du groupe des isométries du plan hyperbolique complexe, de groupes fondamentaux de variétés hyperboliques fermées de dimension 3, obtenues comme des fibrés en surfaces sur le cercle.

mots clés

• Representation of fundamental groups
• Lattices in Lie groups
• Hyperbolic geometry

Titre traduit

Representations of fundamental groups in hyperbolic geometry

Résumé

Two construction methods of group representations are presented. The first one proposes a strategy to try to determine the representations of finitely generated free groups into any lattice in real Lie groups. The second, after reviewing a construction of a complex hyperbolic surface, that is the quotient of the complex hyperbolic plane by a lattice, and examining its properties carefully, yields infinitely many non-conjugate representations into a lattice in the group of isometries of the complex hyperbolic plane, of fundamental groups of closed hyperbolic 3-dimensional manifolds, obtained as surface bundles over the circle.