Volumes finis et solutions renormalisées, applications à des systèmes couplés.

Finite volumes and renormalized solutions : applications to coupled systems

• Auteur / Autrice : Sarah Leclavier
• Direction : Olivier Guibé
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 12/12/2017
• Etablissement(s) : Normandie
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences physiques mathématiques et de l'information pour l'ingénieur (Saint-Etienne-du-Rouvray, Seine-Maritime ; ....-2016)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Laboratoire de mathématiques Raphaël Salem (Saint-Etienne-du-Rouvray, Seine-Maritime ; 2000-...)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem / LMRS
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation de la thèse : Université de Rouen Normandie (1966-....)
• Jury : Président / Présidente : François Murat
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Boris P. Andreianov, Thierry Gallouët

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles paraboliques

Volumes finis, Méthodes de

Mots clés libres

Problème elliptique

Problème parabolique

Donnée L1

Solutions renormalisées

Volumes finis

Systèmes couplés

Elliptic problem

Parabolic problem

L1 data

Renormalized solutions

Finite volume

Coupled systems

Résumé

On s’intéresse dans cette thèse à montrer que la solution approchée, par la méthode des volumes finis, converge vers la solution renormalisée de problèmes elliptiques ou paraboliques à donnée L1. Dans la première partie nous étudions une équation de convection-diffusion ellliptique à donnée L1. En adaptant la stratégie développée pour les solutions renormaliséesà la méthode des volumes finis, nous montrons que la solution approchée converge vers l’unique solution renormalisée.Dans la deuxième partie nous nous intéressons à un problème parabolique nonlinéaire à donnée L1. En utilisant une version discrète de résultats de compacité classiques, nous montrons que les résultats obtenues dans le cas elliptique restentvrais dans le cas parabolique. Dans la troisième partie nous montrons des résultats similaires pour une équationparabolique doublement non-linéaire à donnée L1. Le caractère doublement nonlinéaire de l’équation crée des difficultés supplémentaires par rapport à la partie précédente, notamment car la règle de dérivation en chaîne ne s’applique pas dansle cas discret. Enfin, dans la quatrième partie, nous utilisons les résultats établis précédemment pour étudier un système de type thermoviscoélasticité. Nous montrons que la solution approchée, obtenue par un schéma éléments finis-volumes finis, converge vers une solution faible-renormalisée du système.

In this thesis we are interested in proving that the approximate solution, obtained by the finite volume method, converges to the unique renormalized solution of elliptic and parabolic equations with L1 data. In the first part we study an elliptic convection-diffusion equation with L1 data. Mixing the strategy developed for renormalized solution and the finite volume method,we prove that the approximate solution converges to the unique renormalized solution. In the second part we investigate a nonlinear parabolic equation with L1 data. Using a discrete version of classical compactness results, we show that the results obtaines previously in the elliptic case hold true in the parabolic case. In the third part we prove similar results for a doubly nonlinear parabolic equation with L1 data. The doubly nonlinear character of the equation makes new difficulties with respect to the previous part, especially since the chain rule formula does not apply in the discrete case. Finaly, in the fourth part we use the results established previously to investigate a system of thermoviscoelasticity kind. We show that the approximate solution,obtaines by finite element-finite volume scheme, converges to a weak-renormalized solution of the system.