Un cas particulier de la conjecture de Weinstein en grande dimension
Auteur / Autrice : | Guillaume Roux |
Direction : | Vincent Colin |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance le 11/07/2017 |
Etablissement(s) : | Nantes |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Sciences et technologies de l'information et mathématiques (Nantes) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Jean Leray (Nantes) |
Jury : | Président / Présidente : Frédéric Bourgeois |
Examinateurs / Examinatrices : Klaus Niederkrüger, François Laudenbach, Baptiste Chantraine | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Alexandru Oancea, Jean-François Barraud |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Mots clés libres
Résumé
Cette thèse étudie la conjecture de Weinstein dans le cas de certaines variétés de contact de dimension supérieure ou égale à 5. Cette conjecture, qui affirme que tout champ de Reeb sur une variété close orientée possède une trajectoire périodique, a été démontrée par Taubes pour toute variété de dimension 3. Dans ce texte, on en présente une preuve pour les variétés de contact portées par un livre ouvert dont la page est obtenue, à partir d’un certain domaine de Weinstein, en attachant une anse le long d’une sphère legendrienne lâche et homologiquement triviale. Dans une première partie, on examine la situation dans la page. L’attachement d’une anse correspond à effectuer une chirurgie de contact sur le bord, ce qui provoque l’apparition d’une petite orbite de Reeb pour une forme de contact particulière. On s’intéresse alors aux propriétés d’une famille de plans holomorphes asymptotes à cette orbite. Dans une deuxième partie, on prouve que les pages du livre ouvert se relèvent en un feuilletage de la symplectisation par des hyperplans holomorphes, relativement à une structure hamiltonienne stable adaptée. On montre ensuite que cette dernière se déforme en une structure de contact portée par le livre ouvert. Cela permet d’obtenir une description des plans holomorphes au voisinage d’une page donnée, puis de montrer que ces plans se brisent le long d’une orbite de Reeb contractile.