Caractère de Chern en cohomologie basique équivariante

par Wenran Liu

Thèse de doctorat en Mathématiques et modélisation

Sous la direction de Paul-Emile Paradan et de Moulay-Tahar Benameur.

Soutenue le 29-11-2017

à Montpellier , dans le cadre de I2S - Information, Structures, Systèmes , en partenariat avec Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck / IMAG (laboratoire) .

Le président du jury était Gilbert Hector.

Le jury était composé de Paul-Emile Paradan, Moulay-Tahar Benameur, Gilbert Hector, Xiaonan Ma, Jean-Louis Tu, Éric Leichtnam.

Les rapporteurs étaient Xiaonan Ma, Jean-Louis Tu.


  • Résumé

    Depuis 1980, il est un problème ouvert de donner des formules cohomologiques pour l'indice basique d'un opérateur différentiel basique transversalement elliptique sur un fibré vectoriel au dessus d'une variété feuilletée. Dans les années 1990, El Kacimi-Alaoui a proposé d'utiliser la théorie de Molino pour étudier cette indice. Molino a montré qu'à tout feuilletage Riemannien transversalement orienté, nous pouvons associer une variété, appelée variété basique, qui est munie d'une action du groupe orthogonal, El Kacimi-Alaoui a montré comment associer à l'opérateur basique transversalement elliptique un opérateur sur un fibré vectoriel, appelé fibré utile, au dessus de la variété basique.L'idée est d'obtenir la formule cohomologique espérée à partir des résultats sur l'opérateur sur le fibré utile. Cette thèse est une première étape dans cette direction. Lorsque le feuilletage Riemannien est de Killing, Goertsches et Töben ont remarqué qu'il existe un isomorphisme cohomologique naturel entre la cohomologie basique équivariante du feuilletage de Killing et la cohomologie équivariante de la variété basique.Le résultat principal de cette thèse est de donner une réalisation géométrique de l'isomorphisme cohomologique ci-dessus à travers les caractères de Chern sous certaine Hypothèse.

  • Titre traduit

    Chern character in equivariant basic cohomology


  • Résumé

    From 1980s, it is an open problem of proposing cohomologic formula for the basic index of a transversally elliptic basic differential operator on a vector bundle over a foliated manifold. In 1990s, El Kacimi-Alaoui has proprosed to use the Molino theory for study this index. Molino has proved that to every transversally oriented Riemannien foliation, we can associate a manifold, called basique manifold, which is équiped with an action of orthogonal group, El Kacimi-Alaoui has shown how to associate a transversally elliptic basic differential operator an operator on a vector bundle, called useful bundle, over the basique manifold.The idea is to obtain the desired cohomologic formula from résultats about the operator on the useful bundle. This thesis is a first step in this direction. While the Riemannien foliation is Killing, Goertsches et Töben have remarked that there exists a naturel cohomologic isomorphism between the equivariant basique cohomology of the Killing foliation and the equivariant cohomology of the basique manifold.The principal result of this thesis is the geometric realisation of the cohomologic isomorphism by Chern characters under some hypothèses.


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