Résultats de stabilité en théorie des représentations par des méthodes géométriques
Auteur / Autrice : | Maxime Pelletier |
Direction : | Nicolas Ressayre |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mathématiques |
Date : | Soutenance le 24/11/2017 |
Etablissement(s) : | Lyon |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon |
Partenaire(s) de recherche : | établissement opérateur d'inscription : Université Claude Bernard (Lyon ; 1971-....) |
Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....) | |
Jury : | Président / Présidente : Michel Brion |
Examinateurs / Examinatrices : Paul-Emile Paradan, Stéphanie Cupit-Foutou, Olivier Mathieu, Anne Moreau | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Paul-Emile Paradan, Shrawan Kumar |
Résumé
Les coefficients de Kronecker, qui sont indexés par des triplets de partitions et décrivent la décomposition du produit tensoriel de deux représentations irréductibles d'un groupe symétrique en somme directe de telles représentations, ont été introduits par Francis Murnaghan dans les années 1930. Il a notamment remarqué un comportement particulier de ces coefficients : à partir de n'importe quel triplet de partitions, on peut construire une certaine suite de coefficients de Kronecker qui est stationnaire.Afin de généraliser cette propriété, John Stembridge a introduit en 2014 une notion de stabilité pour les triplets de partitions, ainsi qu'une autre notion -- celle de triplet faiblement stable -- dont il a conjecturé qu'elle serait équivalente à la précédente. Cette conjecture a été démontrée peu après par Steven Sam et Andrew Snowden, par des méthodes algébriques.Dans cette thèse, on donne notamment une autre démonstration -- cette fois géométrique -- de cette équivalence grâce à l'interprétation classique des coefficients de Kronecker comme dimensions d'espaces de sections de fibrés en droites sur des variétés de drapeaux. Ces méthodes permettent également de s'intéresser à quelques questions plus précises : la stabilité dont on parle consiste en le fait que certaines suites de coefficients sont stationnaires, et on se demande à partir de quand ces suites deviennent constantes.On applique ensuite ces techniques à d'autres exemples de coefficients de branchement, puis on s'intéresse à un autre problème : celui de produire des triplets stables de partitions. On généralise ainsi un résultat obtenu indépendamment par Laurent Manivel et Ernesto Vallejo sur ce sujet