Crochet de Gerstenhaber pour les algèbres enveloppantes d'algèbres de Lie de dimension finie

Gerstenhaber bracket for the enveloping algebras of finite-dimensional Lie algebras

• Auteur / Autrice : Rabih Bou Daher
• Direction : Thierry Lambre
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques Fondamentales
• Date : Soutenance le 27/06/2017
• Etablissement(s) : Université Clermont Auvergne‎ (2017-2020)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale des sciences fondamentales (Clermont-Ferrand)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Blaise Pascal
• Jury : Président / Présidente : Christian Kassel
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Claude Cibils, François Dumas, Rachel Taillefer, Alexander Zimmermann
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christian Kassel, Claude Cibils

Mots clés

Mots clés contrôlés

Homologie

Lie, Algèbres de

Mots clés libres

(Co)homologie de Hochschild

Produit cup

Produit cap

Algèbre de Gerstenhaber

Algèbre enveloppante

Hochschild (co)homology

Cup product

Cap product

Gerstenhaber algebra

Enveloping algebra

Résumé

Dans cette thèse, nous décrivons explicitement la structure multiplicative et la structure d’algèbre de Lie graduée sur la cohomologie de l’algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie de dimension finie. Dans un premier temps, nous introduisons une structure multiplicative de la cohomologie de l’algèbre de Lie. Ensuite, nous montrons explicitement qu’il existe un isomorphisme d’algèbres graduées commutatives entre l’algèbre de cohomologie de Hochschild de l’algèbre enveloppante munie du produit cup et l’algèbre de cohomologie de l’algèbre de Lie. Dans un deuxième temps, nous introduisons une structure d’algèbre de Lie graduée sur la cohomologie de l’algèbre de Lie. Ensuite, nous montrons qu’il existe un isomorphisme d’algèbres de Lie graduées entre l’algèbre de Lie de cohomologie de Hochschild de l’algèbre enveloppante munie du crochet de Gerstenhaber et l’algèbre de cohomologie de l’algèbre de Lie. Enfin, nous décrivons complètement le crochet de Gerstenhaber sur la cohomologie de Hochschild de l’algèbre enveloppante d’une algèbre de Lie de dimension _ 3.

In this thesis, we explicitly describe the multiplicative structure and the graded Lie algebra structure of the cohomology of finite-dimensional Lie algebras. In a first step, we introduce a multiplicative structure for the cohomology of Lie algebra. Then, we explicitly show that there exists an isomorphism of commutative graded algebras between the Hochschild cohomology algebra of the enveloping algebra provided with the cup product and the cohomology algebra of the Lie algebra. In a second step, we introduce a graded Lie algebra structure for the cohomology of Lie algebra. Then, we show that there exists an isomorphism of graded Lie algebras between the Hochschild cohomology Lie algebra of the enveloping algebra provided with the Gerstenhaber bracket and the cohomology algebra of the Lie algebra. Finally, we describe completely the Gerstenhaber bracket on the Hochschild cohomology of the enveloping algebra of a Lie algebra for dimension _ 3.