L’analyse spectrale des graphes aléatoires et son application au groupement et l’échantillonnage

Spectral analysis of random graphs with application to clustering and sampling

• Auteur / Autrice : Arun Kadavankandy
• Direction : Konstantin Avrachenkov, Laura Cottatellucci
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 18/07/2017
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université de Nice (1965-2019)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes) - Network Engineering and Operations
• Jury : Président / Présidente : Alain Jean-Marie
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Konstantin Avrachenkov, Laura Cottatellucci, Alain Jean-Marie, Bruce Hajek, Marc Lelarge, Pawel Pralat
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bruce Hajek, Marc Lelarge

Mots clés

Mots clés contrôlés

Réseaux sociaux (Internet)

Échantillonnage (statistique)

Graphes aléatoires

Théorie des graphes

Mots clés libres

Matrices aléatoires

Théorie spectrale des graphes

Graphes aléatoires

Échantillonnage

Détection des communautés

Random matrix analysis

Spectral graph theory

Random graphs

Sampling

Community detection

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions les graphes aléatoires en utilisant des outils de la théorie des matrices aléatoires et l’analyse probabilistique afin de résoudre des problèmes clefs dans le domaine des réseaux complexes et Big Data. Le premier problème qu’on considère est de détecter un sous graphe Erdős–Rényi G(m,p) plante dans un graphe Erdős–Rényi G(n,q). Nous dérivons les distributions d’une statistique basée sur les propriétés spectrales d’une matrice définie du graphe. Ensuite, nous considérons le problème de la récupération des sommets du sous graphe en présence de l’information supplémentaire. Pour cela nous utilisons l’algorithme «Belief Propagation». Le BP sans informations supplémentaires ne réussit à la récupération qu’avec un SNR effectif lambda au-delà d’un seuil. Nous prouvons qu’en présence des informations supplémentaires, ce seuil disparaît et le BP réussi pour n’importe quel lambda. Finalement, nous dérivons des expressions asymptotiques pour PageRank sur une classe de graphes aléatoires non dirigés appelés « fast expanders », en utilisant des techniques théoriques à la matrice aléatoire. Nous montrons que PageRank peut être approché pour les grandes tailles du graphe comme une combinaison convexe du vecteur de dégré normalisé et le vecteur de personnalisation du PageRank, lorsque le vecteur de personnalisation est suffisamment délocalisé. Par la suite, nous caractérisons les formes asymptotiques de PageRank sur le Stochastic Block Model (SBM) et montrons qu’il contient un terme de correction qui est fonction de la structure de la communauté.

In this thesis, we study random graphs using tools from Random Matrix Theory and probability to tackle key problems in complex networks and Big Data. First we study graph anomaly detection. Consider an Erdős-Rényi (ER) graph with edge probability q and size n containing a planted subgraph of size m and probability p. We derive a statistical test based on the eigenvalue and eigenvector properties of a suitably defined matrix to detect the planted subgraph. We analyze the distribution of the derived test statistic using Random Matrix Theoretic techniques. Next, we consider subgraph recovery in this model in the presence of side-information. We analyse the effect of side-information on the detectability threshold of Belief Propagation (BP) applied to the above problem. We show that BP correctly recovers the subgraph even with noisy side-information for any positive value of an effective SNR parameter. This is in contrast to BP without side-information which requires the SNR to be above a certain threshold. Finally, we study the asymptotic behaviour of PageRank on a class of undirected random graphs called fast expanders, using Random Matrix Theoretic techniques. We show that PageRank can be approximated for large graph sizes as a convex combination of the normalized degree vector and the personalization vector of the PageRank, when the personalization vector is sufficiently delocalized. Subsequently, we characterize asymptotic PageRank on Stochastic Block Model (SBM) graphs, and show that it contains a correction term that is a function of the community structure.