Combinatoire des singularités de certaines courbes et hypersurfaces

par Ali Abbas

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Abdallah Assi.

Soutenue le 11-09-2017

à Angers , dans le cadre de École doctorale Mathématiques et sciences et technologies de l'information et de la communication (Rennes) , en partenariat avec Laboratoire angevin de recherche en mathématiques (Angers) (équipe de recherche) et de Laboratoire Angevin de Recherche en Mathématiques / LAREMA (laboratoire) .

Le président du jury était Monique Lejeune-Jalabert.

Le jury était composé de Abdallah Assi, Jean-Michel Granger, Guillaume Rond, Hussein Mourtada.

Les rapporteurs étaient Antonio Campillo López, Mark Spivakovsky.


  • Résumé

    La thèse est constituée de deux parties. Dans la première partie on généralise la Théorie d’Abhyankar-Moh à un type spécial de polynômes, les polynômes libres. Soit f un polynôme non nul de K[[x1, ..., xe]][y] et supposons, moyennement un changement des variables élémentaires, que la composante homogène de plus bas degré du discriminant de f contient une puissance de x1. Une transformation monômiale dans K[[x1, ..., xe]] transforme f en un polynôme quasi-ordinaire avec une racine dans K[[x1n1 , ..., x1ne ]], n ∈ N. En prenant la Préimage de f par le morphisme, nous obtenons une solution y ∈ KC[[x1n1 , ..., x1ne ]] de f(x1, ..., xe, y) = 0, où KC[[x1n1 , ..., x1ne ]] est l’anneau des séries fractionnaires dont le support appartient à un cône convexe C. Ceci nous permet de construire l’ensemble des exposants caractéristiques de y, et de généraliser certains des résultats concernant les polynômes quasi-ordinaires au polynôme f. Dans la deuxième partie, nous donnons un algorithme pour calculer le monoïde des degrés du module M = F1A + . . . + FrA oúA = K[f1(t), . . . , fs(t)] et F1, . . . , Fr ∈ K[t]. Nous donnons ensuite des applications concernant le problème de la classification des courbes polynômiales ( C’est-à-dire, des courbes algébriques paramétrées par des polynômes) par rapport à certains de leurs invariants, en utilisant le module de différentielles Kähleriennes.

  • Titre traduit

    Combinatorics of singularities of some special curves and hypersurfaces


  • Résumé

    The thesis is made up of two parts. In the first part we generalize the Abhyankar-Moh theory to a special kind of polynomials, called free polynomials. We take a polynomial f in K[[x1, ..., xe]][y] and by a preliminary change of variables we may assume that the leading term of the discriminant of f contains a power of x1.After a monomial transformation we get a quasi-ordinary polynomial with a root in K[[x1n1 , ..., x1ne ]] for some n ∈ N. By taking the preimage of f we get asolution y ∈ KC[[x1n1 , ..., x1ne ]] of f(x1, ..., xe, y) = 0,where KC[[x1n1 , ..., x1ne ]] is the ring of formal fractional power series with support in a specific line free cone C. Then we construct the set of characteristic exponents of y, and we generalize some of the results concerning quasi-ordinary polynomials to f. In the second part, we give a procedure to calculate the monoid of degrees of the module M = F1A + . . . + FrA where A = K[f1, ..., fs] andF1, . . . , Fr ∈ K[t]. Then we give some applications to the problem of the classification of plane polynomial curves (that is, plane algebraic curves parametrized by polynomials) with respect to some of the irinvariants, using the module of Kähler differentials.


Il est disponible au sein de la bibliothèque de l'établissement de soutenance.

Consulter en bibliothèque

La version de soutenance existe

Où se trouve cette thèse\u00a0?

  • Bibliothèque : Université d'Angers. Service commun de la documentation. Section Lettres - Sciences.
  • Bibliothèque : Université d'Angers. Service commun de la documentation. Section Droit - Economie - Santé.
Voir dans le Sudoc, catalogue collectif des bibliothèques de l'enseignement supérieur et de la recherche.