Approche fonctorielle et combinatoire de la propérade des algèbres double Poisson

par Johan Leray

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Geoffrey Powell.

Soutenue le 05-12-2017

à Angers , dans le cadre de École doctorale Sciences et technologies de l'information et mathématiques (Nantes) , en partenariat avec Laboratoire angevin de recherche en mathématiques (Angers) (laboratoire) et de Laboratoire Angevin de REcherche en MAthématiques / LAREMA (laboratoire) .

Le président du jury était Vladimir Rubtsov.

Le jury était composé de Alessandra Frabetti, Éric Hoffbeck, Friedrich Wagemann.

Les rapporteurs étaient Muriel Livernet, Martin Markl.

mots clés

• Algèbre double Poisson
• Algèbre double Lie
• Algèbre double Lie-Rinehart
• Diopérade
• Propérade
• Adjonction bar-cobar
• Dualité de Koszul
• Poisson, Algèbres de
• Lie, Superalgèbres de
• Opérades
• Algèbres de Koszul
• Combinatoire algébrique

Résumé

On construit et étudie la généralisation des algèbres double Poisson décalées à toute catégorie monoïdale symétrique additive. On s’intéresse notamment aux algèbres double Poisson linéaires et quadratiques. Dans un second temps, on étudie la koszulité des propérades DLie et DPois = As ⮽c DLie qui encodent respectivement les algèbres double Lie et les algèbres doubles Poisson. On associe à chacune de ces propérades, un S-module muni d’une structure de monoïde pour un nouveau produit monoïdal dit de composition connexe : on appelle de tels monoïdes protopérades. On montre notamment l’existence, pour toutS-module, d’une protopérade libre associée et l’on explicite la combinatoire sous-jacente en terme de briques et de murs. On définit une adjonction bar-cobar, une dualité de Koszul et une notion de base PBW pour les protopérades. On présente également une tentative de théorème PBW à la Hoffbeck pour les protopérades, de laquelle on déduit la koszulité de la diopérade associée à la propérade DLie.

mots clés

• Double Poisson algebra
• Double Lie algebra
• Double Lie-Rinehart algebra
• Dioperad

Titre traduit

A functorial and combinatorial approach to double Poisson algebras and their properad

Résumé

We construct and study the generalization of shifted double Poisson algebras to all additive symmetric monoidal categories. We are especially interested in linear and quadratic double Poisson algebras. We then study the koszulity of the properads DLie and DPois = As ⮽c DLie which encode double Lie algebras and double Poisson algebras respectively. We associate to each, a S-module with a monoidal structure for a new monoïdal product call the connected composition product : we call such monoids protoperads. We show, for any S-module, the existence of the associated free protoperad and we make explicit the underlying combinatorics. We define a bar-cobar adjunction, the notion of Koszul duality and PBW bases for protoperads. We present an attempt of prove a PBW theorem à la Hoffbeck for protoperads, and prove the koszulity of the dioperad associated to the properad DLie.