Thèse soutenue

Limite de champ moyen et propagation du chaos pour des systèmes de particules avec interaction discontinue
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Auteur / Autrice : Samir Salem
Direction : Maxime Hauray
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées
Date : Soutenance le 24/10/2017
Etablissement(s) : Aix-Marseille
Ecole(s) doctorale(s) : Ecole Doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Marseille (I2M)
Jury : Président / Présidente : Stéphane Mischler
Examinateurs / Examinatrices : Isabelle Gallagher, Anne Nouri, Nicolas Fournier
Rapporteurs / Rapporteuses : Arnaud Guillin, Pierre Degond

Résumé

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Dans cette thèse, on étudie des problèmes de propagation du chaos et de limite de champ moyen pour des modèles relatant le comportement collectif d'individus ou de particules. Particulièrement, on se place dans des cas où l'interaction entre ces individus/particules est discontinue. Le premier travail établit la propagation du chaos pour l'équation de Vlasov-Poisson-Fokker-Planck 1d. Plus précisément, on montre que la distribution des particules évoluant sur la droite des réels interagissant via la fonction signe, converge vers la solution de l'équation de VPFP 1d, en probabilité par des techniques de type grandes déviations, et en espérance par des techniques de loi des grands nombre. Dans le second travail, on étudie une variante du modèle de Cucker-Smale, où le noyau de communication est l'indicatrice d'un cône dont l'orientation dépend de la vitesse de l'individu. Une estimation de stabilité fort-faible en distance de M.K.W. est obtenue, qui implique la limite de champ moyen. Le troisième travail a consisté à introduire de la diffusion en vitesse dans le modèle précédemment cité. Cependant, il faut ajouter une diffusion tronquée afin de préserver un système dans lequel les vitesses restent uniformément bornées. Finalement, on étudie une variante de l'équation d'agrégation où l'interaction entre individus est donnée par un cône dont l'orientation dépend de la position de l'individu. Dans ce cas on peut seulement donner une estimation de stabilité fort-faible en distance W∞, et le modèle doit être posé dans un domaine borné dans le cas avec diffusion.