Double régularisation des polyzêtas en les multi-indices négatifs et extensions rationnelles

par Quoc hoan Ngo

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Gérard Duchamp et de Ngoc Minh Hoang.

Soutenue le 09-12-2016

à Sorbonne Paris Cité , dans le cadre de École doctorale Galilée (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis) , en partenariat avec Laboratoire informatique de Paris-Nord (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis) (laboratoire) .

Le président du jury était Karol A. Penson.

Le jury était composé de Loïc Foissy, Vincent Rivasseau, Christophe Tollu.

Les rapporteurs étaient Sylvie Paycha, Dominique Manchon.

mots clés

• Algèbre de Hopf de φ−shuffle
• Sommes harmoniques
• Polylogarithmes
• Différentiation fonctionnelle
• Bernoulli, Polynômes de
• Euler, Polynômes d'
• Hopf, Algèbres de

Résumé

Dans ce travail, nous nous intéressons aux problèmes relatifs aux polylogarithmes et aux sommes harmoniques pris en les multiindices négatifs(au sens large, appelés dans la suite non-positifs) et en les indices mixtes. Notre étude donnera des résultats généraux sur ces objets en relation avec les algèbres de Hopf. Les techniques utilisées sont basées sur la combinatoire des séries formelles non commutatives, formes linéaires sur l’algèbre de Hopf de φ−Shuffle. Notre travail donnera aussi un processus global pour renormaliser les polyzetâs divergents. Enfin, nous appliquerons les structures mises en évidence aux systèmes dynamiques non linéaires avec entrées singulières.

mots clés

• Φ−shuffle Hopf algebras
• Harmonic sums
• Polylogarithms
• Non-linear differential systems

Titre traduit

Double Regularization of Polyzetas in Multi-negative Indices and Rational Extensions

Résumé

In this memoir are studied the polylogarithms and the harmonic sums at non-positive (i.e. weakly negative) multi-indices. General results about these objects in relation with Hopf algebras are provided. The technics exploited here are based on the combinatorics of non commmutative generating series relative to the Hopf φ−Shuffle algebra. Our work will also propose a global process to renormalize divergent polyzetas. Finally, we will apply these ideas to non-linear dynamical systems with singular inputs.